Sviluppi di Taylor

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Analisi e Geometria 1 Sviluppi di T aylor 1. Scrivere lo sviluppo di MacLaurin del secondo ordine della funzione f (x) = arctan x 1 − arctan x . 2. Determinare la parte principale e l’ordine di infinitesimo (rispetto all’infinitesimo cam- pione x ) delle seguenti funzioni: (a) f (x) = x ln(1 + x) − e−x + √ 1 − 2x (b) g(x) = cosh x − cos x − ln(1 + x2) 3. Siano f e g due funzioni tali che f (x) = 3 x+2x2 +o(x2) e g(x) = 1+2 x−x2 +o(x2) , per x → 0 . Scrivere lo sviluppo di MacLaurin del secondo ordine della funzione composta F definita da F (x) = g(f (x)) . 4. Dire fino a che ordine la funzione f (x) = { ex − cos x − x x ≤ 0√1 + x − √1 − 2x − 1 2 ln(1 + 3x) x < 0 ` e derivabile in x = 0 . Disegnare il grafico di f in un intorno x = 0 . 5. Calcolare i seguenti limiti: (a) lim x→0 4 arctan 3x − 3 sin 4x x3 (b) lim x→0 x + e3x − e4x x sin x − 2x2 (c) lim x→0 ex − x − cos x x ln(1 + x) + 2x2 (d) lim x→0 2x cos x + ln(1 − 2x) + 2x2 ex2 − x2√1 + x − 1 (e) lim x→0 1 − ln(1 + x) + 2 sin x − ex √ 1 − x3 − ex3 6. Calcolare, al variare del parametro reale k , i seguenti limiti: (a) lim x→0+ 3 sinh x − sin 3x x3k (b) lim x→0+ 2ex − e2x − 1 (sinh x − sin x)k (c) lim x→0+ ex − sin x − 1 lnk(1 + x5) Soluzioni 1. Si ha f (x) = arctan x 1 − arctan x f (0) = 0 f ′(x) = 1 (1 + x2)(1 − arctan x)2 f ′(0) = 1 f ′′(x) = 2(1 − x + x arctan x) (1 + x2)2 (1 − arctan x)3 f ′′(0) = 2 . Quindi f (x) = x + x2 + o(x2) . 2. Usando gli sviluppi di MacLaurin delle funzioni elementari, si ha f (x) = x ( x − x2 2 + o(x2) ) − 1 + x − x2 2 + x3 6 + o(x3) + 1 − x − x2 2 − x3 2 + o(x3) = − 5 6 x3 + o(x3) . Quindi, per x → 0 , la funzione f ` e un infinitesimo di ordine 3 che ha come parte principale −5x3/6 . Analogamente, si ha g(x) = 1 + x2 2 + x4 24 + o(x4) − 1 + x2 2 − x4 24 + o(x4) − x2 + x4 2 + o(x4) = x4 2 +…