Terzo Appello 25 08 21

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Segnali per le comunicazioni –Appello del 25/8/2021 Esercizio 1 da svolgere in 35 minuti Sia dato il segnale 𝑦(𝑡)=𝑥(𝑡)[cos(16𝜋𝑡)+ sin(16𝜋𝑡)] dove 𝑥(𝑡) =ቂୱ୧୬(ଶగ௧) గ௧ ቃ ଶ . A) Si trovi l'espressione della trasformata di Fourier 𝑌(𝑓) e se ne tracci il grafico. B) Si campioni 𝑦(𝑡) con frequenza di campionamento 𝑓௦ = 4 ottenendo il segnale discreto 𝑦௡. Si calcoli l'espressione del segnale ricostruito 𝑦ோ(𝑡) a partire dai campioni 𝑦௡. Soluzione Esercizio 1 del 25/8/2021 Sia dato il segnale 𝑦(𝑡) =𝑥(𝑡)[cos(16𝜋𝑡)+ sin(16𝜋𝑡)] dove 𝑥(𝑡) =ቂୱ୧୬(ଶగ௧) గ௧ ቃ ଶ . A) Si trovi l'espressione della trasformata di Fourier 𝑌(𝑓) e se ne tracci il grafico. 𝑋(𝑓)=𝑟𝑒𝑐𝑡൬𝑓 2൰∗𝑟𝑒𝑐𝑡൬𝑓 2൰ 𝑋(𝑓) è un triangolo tra -2 e 2 alto 2. 𝑌(𝑓)=ଵ ଶ 𝑋(𝑓− 8)−௝ ଶ 𝑋(𝑓− 8)+ଵ ଶ 𝑋(𝑓+ 8)+௝ ଶ 𝑋(𝑓+ 8) Il grafico della parte reale e parte immaginaria e del modulo e della fase sono mostrati nella seguente figura. B) Si campioni 𝑦(𝑡) con frequenza di campionamento 𝑓௦ = 4 ottenendo il segnale discreto 𝑦௡. Si calcoli l'espressione del segnale ricostruito 𝑦ோ(𝑡) a partire dai campioni 𝑦௡. RE[X(f)]f8-8106-10 -6f8-8106-10 -6f8-8106-10 -6f8-8106-10 -6IM[X(f)]Fase[X(f)]Abs[X(f)]11j -jp/4-p/4sqrt(2)sqrt(2) Il campionamento introduce alias. La trasformata 𝑌෨(𝑓) si calcola nella banda −2 ≤𝑓≤ 2 dove la parte reale si somma e la parte immaginaria si cancella. 𝑌ோ(𝑓) è un triangolo tra -2 e 2 alto 2 e, di conseguenza, il segnale ricostruito è 𝑦ோ(𝑡) =𝑥(𝑡) =ቂୱ୧୬(ଶగ ) గ௧ ቃ ଶ Segnali per le comunicazioni –Appello del 25/8/2021 Esercizio 2 da svolgere in 35 minuti Sia dato il processo casuale discreto 𝑥௡ la cui densità spettrale di potenza è: 𝑆௫(𝜑)= 8 + 4 cos(2𝜋𝜑)+ 2 cos(4𝜋𝜑)+ 𝛿(𝜑) periodica di periodo 1. A) Si calcoli la potenza del processo dato. B) Si calcoli la potenza del processo 𝑦௡ =𝑥௡−𝑥௡ିଵ C) Si calcoli la potenza del processo 𝑧௡ =𝑥௡+2𝑥௡ିଷ…