Test di autovalutazione

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Analisi e Geometria 1 Politecnico di Milano – Ingegneria T est di autovalutazione 1. Risolvere, nel campo complesso, l’equazione (z − 1 + 2i)4 = (2 − i)4 . 2. Determinare l’ordine di infinitesimo e la parte principale della funzione f (x) = 2 ex + sin x − 2 √ 1 + 3x . 3. Calcolare il limite lim x→0 x2 + 2 ln(1 + x) − 2 sin x (e2x − cos x − 2x) ln(1 + arctan x) . 4. Determinare gli eventuali valori dei parametri reali a e b in corrispon- denza dei quali la funzione f (x) =    ax + b se x ≥ 0 x sin x se x < 0 . ` e (a) continua in x0 = 0 (b) derivabile in x0 = 0 . 5. Studiare la funzione f (x) = √ x − ln x . Risposte 1. Soluzioni: z = −1 − i , z = −4i , z = 2 , z = 3 − 3i . 2. Si ha f (x) = 13 4 x2 + o(x2) . Quindi la funzione ` e un infinitesimo del secondo ordine e la parte principale ` e 13 4 x2 . 3. Il limite ` e 2/5 . 4. (a) La funzione ` e continua per ogni a per per b = 1 . (b) La funzione ` e derivabile per a = 0 e b = 1 . 5. Grafico della funzione: 1 2 3 4 5 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5