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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Analisi Matematica I [Prof. V.Pata] II Prova in Itinere - 1 F ebbraio 2018 0. Esercizi Preliminari ♢ Calcolare la derivata della funzione f (x ) = log [ x sin x ] Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Analisi Matematica I [Prof. V.Pata] II Prova in Itinere - 1 F ebbraio 2018 0. Esercizi Preliminari ♢ Calcolare la derivata della funzione f (x ) = arctan [ x e x ] Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Analisi Matematica I [Prof. V.Pata] II Prova in Itinere - 1 F ebbraio 2018 I. Teoria 1.1 Dare la de nizione di funzione f convessa su [ a; b ]. [1 punto] 1.2. Sia f convessa in [ a; b ]. Dimostrare che se f e derivabile in x 0 2 [a; b ] allora f giace sopra la tangente in x 0 . [1 punto] 1.3. Ricordando la de nizione di esso (scriverla!), quale conseguenza possiamo trarre dal precedente punto 1.2 ? [1 punto] 2.1. Enunciare il teorema di derivabilit a della funzione composta. [1 punto] 2.2. Sia g derivabile in x 0 con g (x 0 ) ̸= 0. Dimostrare la formula [1 punto] ( 1 g ) ′ (x 0 ) = g ′ (x 0 ) [g (x 0 )] 2 : 3.1. Enunciare il teorema della linearit a dell'integrale di Riemann. [1 punto] 3.2. Enunciare il teorema dell'additivit a dell'integrale di Riemann. [1 punto] Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Analisi Matematica I [Prof. V.Pata] II Prova in Itinere - 1 F ebbraio 2018 II. Esercizi 1. Stabilire per quali valori del parametro reale la funzione f (x ) = x 3 3 x 2 + 3 x + 1 e strettamente crescente su tutto R . [3 punti] 2. Si consideri l'integrale improprio ∫ 1 0 1p x (1 + x ) d x: 2.1 Stabilirne la convergenza utilizzando solo i criteri noti (senza calcolarne la primitiva).…
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