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Politecnico di Milano – Ingegneria Matematica Analisi Matematica II, A.A. 2022–2023, Scaglione M-Z Secondo appello – 1o Febbraio 2023 – Durata: 2 ore e 30 minuti Cognome e Nome: No iscrizione: Codice Persona: Si raccomanda di giustificare adeguatamentei passaggi, citando gli strumenti teorici necessari. Si ri- corda inoltre che i fogli di protocollo possono essere utilizzati esclusivamente per la bruttae non vanno consegnati. Esercizio 1 (4 punti) Si consideri la seguente funzione: f(x,y ) =ex−xy2. (a) Determinare esplicitamente il luogo degli zeri dif (ovvero l’insieme di livello0). (b) Calcolare il limite lim (x,y)→(0,0) f(x,y )− 1−x√ x2 +y2 . Soluzione: (a) Dobbiamo stabilire per quali(x,y )∈ R2 è soddisfatta l’equazione ex−xy2 = 0. Notiamo che perx = 0 l’identità non è mai verificata, perciò dividendo perx̸= 0 otteniamo y2 = ex x , che è risolubile se e solo sex> 0. Di conseguenza, il luogo degli zeri è dato da { y = e x 2 √x, x> 0 } ∪ { y =−e x 2 √x, x> 0 } . (b) È sufficiente osservare che il limite richiesto non è altro che la verifica di differenziabilità dif in (0, 0), e quindi vale zero dato chef∈C1(R2), f(0, 0) = 1 e∇f(0, 0) = (1, 0). 1 Esercizio 2 (6 punti) Sia data la funzione f(x,y ) = log ( 15 + 2x−x2−y2) . (a) Determinare il dominio dif, stabilendo se è un insieme aperto, limitato, connesso. (b) Dimostrare (senza trovarli esplicitamente) chef ammette estremi assoluti nell’insieme E := { (x,y )∈ R2 : x +y≥ 0, x2 +y2− 2x− 9≤ 0 } . (c) Trovare i punti di estremo assoluto dif nell’insieme E. Soluzione: (a) Il dominio è dato da tutti i punti(x,y )∈ R2 tali che 15 + 2x−x2−y2> 0, ovvero (x− 1)2 +y2< 42, che non è altro che l’insieme dei punti interni della circonferenza di raggio4 centrata in(1, 0). Si tratta perciò di un insieme aperto, limitato e connesso. (b)…