01 07 2023

Document information

University: Politecnico di Milano
Degree programme: Mechanical Engineering
Subject: Statistica
Material language: Italian
Classification: Exam · Second midterm
Content: Exam paper only
Original format: PDF
Text: Searchable text

What's included in this study material

Study material for Statistica, shared by the Studwiz community and reviewed by moderators.

Import quality: text was extracted directly from the original document.

Extracted content from the document

Representative passages recognised in different parts of the material. The full extracted text remains available to search, while this compact preview makes the page easier to read.

Page 1

Statistica - II prova in itinere 2022/23 [0000] Matricola: ⓪ ⓪ ⓪ ⓪ ⓪ ⓪ ① ① ① ① ① ① Istruzioni: riempire completamente le bolle con le ② ② ② ② ② ② cifre del numero di matricola (una cifra per colonna); ③ ③ ③ ③ ③ ③ nella parte sotto del foglio, riempire completamente le bolle con le risposte alle domande a scelta multi- ④ ④ ④ ④ ④ ④ pla. Per riempire, usare penna o matita nera, coloran- ⑤ ⑤ ⑤ ⑤ ⑤ ⑤ do tutto l’interno e cercando di non uscire dal bordo. ⑥ ⑥ ⑥ ⑥ ⑥ ⑥ Non sono ammesse correzioni, dato che il foglio verrà ⑦ ⑦ ⑦ ⑦ ⑦ ⑦ analizzato da un computer. ⑧ ⑧ ⑧ ⑧ ⑧ ⑧ ⑨ ⑨ ⑨ ⑨ ⑨ ⑨ Cognome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Segnare le risposte delle domande a scelta multipla (1) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ (7) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ (2) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ (8) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ (3) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ (9) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ (4) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ (10) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ (5) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ (11) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ (6) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ (12) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ

Page 3

Statistica - II prova in itinere 2022/23 [0000]-p1/4 Domande a scelta multipla ∗ Gli esercizi marcati con un asterisco valgono più punti e vanno giustificati in maniera sintetica e chiara sul retro del primo foglio. In particolare, per i test specificare: tipo di test, ipotesi nulla ed alternativa, statistica utilizzata e suo valore numerico, regione di rifiuto o P-value con relativa stima (a seconda dei casi e di quanto richiesto nel testo). (1) ∗ Un treno ha k carrozze; i numeri dei passeggeri delle carrozze sono variabili binomiali indipendenti di parametri n = 20 e p = 3/4. Quante carrozze deve avere come minimo il treno affinchè la probabilità di avere almeno una carrozza al completo sia superiore a 0.5?  (a) Almeno 43.  (b) Almeno 98.  (c) Almeno 219.  (d) Almeno 151.  (e) Almeno 964. (2) Siano X e Y due variabili aleatorie normali indipendenti, X ∼ N ( a, σ2 ), Y ∼ N (b, κ 2 ). Che legge ha X − Y?  (a) N ( a + b, σ2 + κ 2 ).  (b) N ( a − b, σ2 − κ 2 ).  (c) N ( a − b, (σ − κ )2 ).  (d) N ( a − b, σ2 + κ 2 ).  (e) N ( a − b, σ2 κ 2 ). (3) Sia { Xi }i∈N una successione di v.a. indipendenti identicamente distribuite con valore atteso µ e varianza σ2 . Per n grande si ha approssimativamente:  (a) X n − σ2 /n ∼ N (µ, 0).  (b) X n − σ2 /n ∼ N (µ − σ2 /n, 0).  (c) X n − σ2 /n ∼ N (µ, σ2 /n).  (d) X n − σ2 /n ∼ N (µ − σ2 /n, σ2 /n).  (e) X n − σ2 /n ∼ N (0, 1). (4) Un dado viene lanciato 600 volte ottenendo le seguenti frequenze relative: f r (1) = 1/8, f r (2) = 5/24, f r (3) = 1/6, f r (4) = 1/8, f r (5) = 3/20 e f r (6) = 9/40. Cosa possiamo concludere sul fatto che il dado sia equilibrato a livello 5%, 2.5% e 1%?  (a) Accetto all’1%, rifiuto al 2.5% e al 5%.

Page 4

Statistica - II prova in itinere 2022/23 [0000]-p2/4  (b) Accetto all’1%, al 2.5% e al 5%.  (c) Rifiuto all’1%, al 2.5% e al 5%.  (d) Accetto all’1% e al 2.5%, rifiuto al 5%.  (e) Rifiuto all’1% e al 2.5%, accetto al 5%. (5) Il tempo di lavorazione di un pezzo meccanico è una variabile aleatoria di media µ = 2 minuti e deviazione standard σ = 0.3 minuti. Tralasciando la correzione di continuità, qual è il minimo numero di pezzi che dobbiamo misurare affinchè, con una probabilità pari ad almeno il 95%, la media campionaria dei loro tempi di lavorazione non differisca da 2 minuti per più di 4 secondi?  (a) Almeno 67.  (b) Almeno 78.  (c) Almeno 93.  (d) Almeno 104.  (e) Almeno 50. (6) ∗ Si consideri una famiglia di variabili { Xi }i∈N i.i.d. discrete con densità { p x=a f (x) = 1− p x = b con −∞ < b < a < +∞. Ricordando che la media campionaria X n ha lo stesso valore atteso di ciascuna Xi , quale dei seguenti è sicuramente uno stimatore non distorto di p?  (a) X n  (b) X n /( a − b)  (c) ( X n − b)/( a − b)  (d) ( a − b) X n + b √  (e) ( X n − b)/ a − b (7) Supponiamo di calcolare un intervallo di confidenza I1 per la media di una popolazione normale a varianza incognita, al livello α1 . Cosa accade se calcoliamo poi (con gli stessi dati) l’intervallo di confidenza I2 al livello α2 , con α2 < α1 ?  (a) I2 è più stretto di I1 .  (b) La numerosità del campione aumenta.  (c) Non ci sono regole.  (d) I2 è più ampio di I1 .  (e) La varianza campionaria diminuisce.

Page 5

Statistica - II prova in itinere 2022/23 [0000]-p3/4 (8) Siano A e Bc eventi indipendenti. Quale delle seguenti affermazioni è vera?  (a) P ( A ∪ B) = P ( A) − P ( A)P ( B) + P ( B).  (b) P ( A ∪ Bc ) = P ( A)P ( Bc ).  (c) P ( A ∪ B) = P ( A) + P ( B).  (d) P ( A ∩ Bc ) = P ( A) + 1 − P ( B)  (e) P ( A ∩ Bc ) = P ( A)P ( B). (9) La scatola 1 contiene 4 palline rosse e 2 grigie mentre la scatola 2 contiene 2 rosse e 4 grigie. La prima scatola viene scelta con probabilità 1/3, mentre la seconda viene scelta con probabilità 2/3. Sapendo che è stata estratta una pallina rossa, qual è la probabilità che sia stata scelta la scatola 1?  (a) 1/2  (b) 1/3  (c) 2/3  (d) 1/4  (e) Nessuna delle altre risposte è corretta. (10) ∗ Sia { kx log x x ∈ (0, 1) f k (x) = 0 altrimenti. Dopo aver determinato per quale valore di k tale funzione rappresenta la densità di una variabile aleatoria, si calcoli il valore atteso di tale variabile.  (a) 4/9.  (b) 5/12 log(2).  (c) 1/2.  (d) 2 log(3/2).  (e) Nessuna delle altre risposte è corretta. (11) ∗ Siano { Xi }100 i =1 variabili assolutamente continue iid di valore atteso 0.2 e varianza 0.04. Calcolare (approssi- mativamente) ( ) 1 100 3 100 i∑ P Xi < . =1 10  (a) Circa 0, 8634.  (b) Circa 0.  (c) Circa 0.6745

Page 6

Statistica - II prova in itinere 2022/23 [0000]-p4/4  (d) Circa 1.  (e) Nessuna delle altre risposte è corretta. (12) ∗ Un amico di Romualdo, di nome Procopio, ha un problema particolare. Da anni Procopio, quando cammina per strada, sbatte la testa contro i cartelli stradali sistematicamente con probabilità 5/6, quasi ne fosse attratto da una forza misteriosa. Romualdo ha deciso quindi di mettere in atto il seguente rimedio: prima di ogni uscita lo fa ubriacare sperando che l’andatura barcollante lo aiuti ad evitare i cartelli. Dall’inizio di questa “cura” su 120 passeggiate Procopio ha sbattuto contro qualche cartello solo in 90 uscite. Ci sono evidenze statistiche sull’efficacia del rimedio di Romualdo? Tramite il calcolo del P-value, stabilire quale tra le seguenti affermazioni è corretta.  (a) Non ci sono abbastanza evidenze dell’efficacia della cura.  (b) Non si hanno sufficienti informazioni per poter stabilire il valore del p-value, ma possiamo dire che la cura non è efficace al livello di significatività del 5%.  (c) Ci sono abbastanza evidenze dell’efficacia della cura.  (d) Non si hanno sufficienti informazioni per poter stabilire il valore del p-value, ma possiamo dire che la cura non è efficace al livello di significatività del 10%.  (e) Il P-value è circa 0.22.

Preview

First page of the document.