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ANDREA LANDELLA 05 Agosto 2016 Correzione pretest esame Analisi 1 e Geometria – (10 CFU, 082919) in data 02 Febbraio 2015 1 1. L’inversa della matrice A è la trasposta della matrice dei cofattori di A, scalata per l’inverso del determi- nante di A. In questo caso si parla di invertibilità quando det(A) ≠ 0. Qui det(A) = –2, pertanto: 11 3 1 1 1 1 11 1 1 3 1 3 1 det( ) 2 TTA A A A A                              si può verificare la correttezza dei calcoli ponendo AA–1, il risultato dev’essere la matrice d’identità: 1 1 1 1 1 2 011 3 1 3 1 0 222AA I                 2. L’equazione secolare per ricavare gli autovalori di una matrice quadrata A è det(A – λI) = 0: 2211det ( 1) 3 0 ( 1) 331            le soluzioni sono pertanto λ = 1 + √3 e λ = 1 – √3, le quali sono reali e con molteplicità algebrica pari a 2. 3. Le radici seste complesse dell’unità immaginaria sono un insieme di 6 soluzioni sul Piano di Gauss, le quali formano vertici di un poliedro regolare. Esse si possono ricavare dalla forma esponenziale: 1/6 1( ) exp 2 exp { : 5}2 6 12 3 Ci i k i k k k N k                             Si osserva che π/12 = 15° e π/3 = 60°, pertanto le soluzioni saranno vertici di un esagono regolare non simmetrico sul Piano di Gauss. 4. Si procede per sostituzione, dalla seconda espressione y = x – 1, ponendosi quindi nella prima si ottiene 2x + (x – 1) = 5 → 3x – 1 = 5 → x = 2. Riportandosi nella seconda espressione, y = 1. 5. L’applicazione lineare Φ : A → B, con dim(A) ≠ dim(B), è iniettiva se e solo se la dimensione delle immagini è maggiore o uguale alla dimensione delle controimmagini, ovvero dim(ker(Φ)) = 0. Sia n = dim(A), deve valere sempre che n = dim(ker(Φ)) +…