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Politecnico di Milano - Ingegneria Biomedica Analisi Matematica 1 e Geometria 2-2-2017 Esercizio 1. Nello spazio R3, riferito a un sistema cartesiano Oxyz, si considerino i punti A = (1, 0,−1), B = (1, 2, 1) e C = (0, 1, 2). a. Scrivere una equazione della retta r passante per A e B, b. Scrivere una equazione del piano Π passante per C che contiene r. c. Calcolare la distanza di C da r. Soluzioni a. La retta r ha direzione u = ⃗AB =   1− 1 2− 0 1− (−1)   =   0 2 2   e passa per il punto A. Quindi una sua equazione parametrica ` e s :    x = 1 y = 2t z =−1 + 2t t∈ R. b. Sia v = ⃗AC =   0− 1 1− 0 2− (−1)   =   −1 1 3  . Pertanto il piano Π ha direzione ortogonale data dal vettore u∧ v =   0 2 2  ∧   −1 1 3   =   4 −2 2  . Imponendo anche il passaggio per il punto C, una equazione cartesiana di Π ` e quindi 4x− 2(y− 1) + 2(z− 2) = 0. b. Notiamo preliminarmente che, come conseguenza del fatto che u∧ v̸= 0, i tre punti A, B e C non sono allineati. Pertanto la retta r non contiene il punto C e tale distanza non ` e nulla. Per calcolarla, denotando con P (t) il generico punto della retta r, troviamo il minimo della funzione f(t) =d(P (t),C )2 = 1 + (2t− 1)2 + (2t− 3)2. Per il teorema di Fermat, esso ` e raggiunto nell’unica soluzione dell’equazione f′(t) = 8(2t− 1) + 8(2t− 3) = 0 i.e. nel punto corrispondente al valore del parametro tmin = 1. Pertanto il valore della la distanza richiesta ` e d(r,C ) =d(P (2),C ) = √ 1 + 1 + 1 = √ 3. Esercizio 2. Sia data una applicazione lineare L : R3→ R3 la cui matrice rappresentativa, rispetto ad una coppia opportuna di basi, ´ e A =   2 1 0 6 3 0 1 1 5  . a. Si calcoli la dimensione dell’immagine di L e se ne esibisca una base. b. Si calcolino la dimensione del nucleo di L e se ne esibisca una base.…