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Politecnico di Milano Analisi Matematica II – 2 settembre 2015 Ing. Chimica e Ing. dei Materiali Prova scritta –2a PARTE Cognome: Nome: c⃝ I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sarà perseguito a termini di legge dal titolare del diritto 1)Dopoaverstudiatoilsegnodellafunzione f(x,y ) =y− 3√x, calcolareilvolume V delsolidocompreso tra la superficiez =f(x,y ) ed il pianoxy in corrispondenza del quadratoQ ={0<x< 1, 0<y < 1}. Osserviamo chef(x,y )>0 se y> 3√x ef(x,y )<0 se y< 3√x, per cui (in base al significato geometrico degli integrali doppi) il volume cercato è: V = ∫∫ Q |f(x,y )| dx dy= ∫∫ Q+ f(x,y ) dx dy− ∫∫ Q− f(x,y ) dx dy , oveQ+ ={(x,y )∈ R2 : 0<x< 1, 3√x<y< 1} e Q− ={(x,y )∈ R2 : 0<x< 1, 0<y< 3√x} sono rispettivamente i sottinsiemi diQ su cuif è positiva e negativa. - 6 y = 3√x y x1 1 Q+ Q− Gli insiemiQ+ eQ− sono già scritti come insiemiy–semplici, quindi “pronti” il calcolo: ∫∫ Q+ f(x,y ) dx dy= ∫ 1 0 dx ∫ y=1 y= 3√x ( y− 3√x ) dy = ∫ 1 0 [y2 2 − 3√xy ]y=1 y= 3√x dx = = ∫ 1 0 (1 2−x1/3 + x2/3 2 ) dx = [ x 2− 3x4/3 4 + 3x5/3 10 ]1 0 = 10 20− 15 20 + 6 20 = 1 20 , ∫∫ Q− f(x,y ) dx dy= ∫ 1 0 dx ∫ y= 3√x y=0 ( y− 3√x ) dy = ∫ 1 0 [y2 2 − 3√xy ]y= 3√x y=0 dx = = ∫ 1 0 −x2/3 2 dx = [ −3x5/3 10 ]1 0 =− 3 10 . In alternativa, osservato che la curvay = 3√x si può riesprimere comex =y3, gli integrali possono essere calcolati considerando gli insiemi comex–semplici; ad esempio per il primo integrale: ∫∫ Q+ f(x,y ) dx dy= ∫ 1 0 dy ∫ x=y3 x=0 ( y− 3√x ) dx = ∫ 1 0 [ yx− 3x4/3 4 ]x=y3 x=0 = = ∫ 1 0 ( y4− 3y4 4 − 0 + 0 ) dy = ∫ 1 0 y4 4 dy = [y5 20 ]1 0 = 1 20 . Allora il volume richiesto vale: V = ∫∫ Q+ f(x,y ) dx dy− ∫∫ Q− f(x,y ) dx…