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Politecnico di Milano – Ingegneria Matematica Analisi Matematica II, A.A. 2021-2022 Quinto appello – 2 Settembre 2022 – Durata: 2 ore e 30 minuti Cognome e Nome: Codice Persona: Si raccomanda di giustificare adeguatamentetutti i passaggi, citando gli strumenti teorici necessari. Lo svolgimento va riportato sotto il testo o sul retro, mentre i fogli di protocollo possono essere utilizzati esclusivamente per la brutta. Esercizio 1 (6 punti) Si consideri l’equazione differenziale x′ = (x +t)2− 1. (a) Trovare la soluzione generale. (b) Risolvere il problema di Cauchy con dato inizialex(0) = 2. (c) Stabilire se la soluzione trovata al punto (b) ha asintoti. Soluzione: (a) Conviene anzitutto operare la sostituzioney =x +t, mediante la quale l’equazione diventa y′ =y2, che è variabili separabili e può essere integrata esplicitamente. La soluzione generale è y(t) =− (t +c)−1 ∀t̸=−c, che riscritta in termini dix risulta x(t) =− (t +c)−1−t ∀t̸=−c, dovec∈ R è una costante arbitraria. (b) Si ha chex(0) = 2 se e solo sec =− 1 2, quindi la soluzione del problema di Cauchy è x(t) = 2 1− 2t−t ∀t< 1 2. (c) È immediato verificare chey =−t è l’asintoto obliquo dix(t) per t→−∞ , mentret = 1 2 è un asintoto verticale. 1 Esercizio 2 (4 punti) Consideriamo la seguente successione di funzioni: fn(x) = 4n2x +n cos(x2 + 1) n2(x2 + 1) . (a) Studiare la convergenza puntuale inR. (b) Studiare la convergenza uniforme inR. Soluzione: Notiamo che fn(x) −→ n→+∞ 4x x2 + 1 ∀x∈ R. Pertantofn, pern→ +∞, converge puntualmente alla funzionef(x) = 4x x2+1 in R. Inoltre, sup R |fn−f| = sup x∈R | cos(x2 + 1)| n(x2 + 1) ≤ 1 n −→ n→+∞ 0. Quindi la convergenza è anche uniforme inR. 2 Esercizio 3 (5 punti) Sia F : R2→ R2 il campo vettoriale dato da F (x,y ) = ( 4x2 + y 3, 4y2 + x 3 ) ∀(x,y )∈ R2. (a) Trovare un…