02 Non completezza numeri reali

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Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica (A-L) – a.a. 2017/2018 Esempio di sottoinsiemi separati dell’insieme Q dei numeri razionali che non ammettono elemento di separazione razionale Considero gli insiemi A = { x∈ Q|x≤ 0 } ∪ { x∈ Q|x >0 e x 2< 2 } , B = { x∈ Q|x >0 e x 2> 2 } . Voglio dimostrare cheA eB sono separati e che non esiste alcun numero razionale che sia elemento di separazione di A e B . Premetto due lemmi. Lemma 1: Se a e b sono numeri positivi e a2<b 2 , allora a<b . Dimostrazione: Per assurdo, suppongo a≥b . Applico la prima regola di moltiplicazione membro a membro alla disuguaglianza a≥b , considerata due volte, e ottengo a·a≥b·b , cio` ea2≥b2 . Questo contraddice l’ipotesi a2<b 2 . □ Nota: da questo punto in poi ometto il simbolo · per indicare la moltiplicazione. Lemma 2: Non esiste alcun numero razionale x tale che x 2 = 2 . Dimostrazione: Per assurdo, suppongo che x sia un numero razionale e che x 2 = 2. Siccome x ` e un numero razionale, posso scriverlo nella forma x = m n , con m∈ Z e n∈ Z∗ ; posso supporre che i numeri m e n siano privi di fattori comuni (se non lo fossero, sostituirei la frazione m n con una frazione equivalente avente la propriet` a richiesta). Osservo che x 2 = 2 ⇐⇒ m2 n2 = 2 ⇐⇒ m2 = 2n2 ; l’ultima uguaglianza mi dice che m2 ` e pari. Osservando che il quadrato di un numero dispari ` e un numero dispari, ne deduco che m ` e pari, e quindi posso scrivere m = 2p , con p numero intero. Sostituendo nell’ultima uguaglianza scritta sopra, ottengo 4 p2 = 2n2 e, dividendo per 2, ottengo 2p2 =n2 . Questo mi dice che n2 ` e pari, e quindi anche n lo ` e. Ora, se m e n sono entrambi pari, entrambi contengono il fattore 2, e questo contraddice l’aver supposto che m e n siano privi di fattori comuni. □ Considero adesso…