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Analisi Matematica II - 02 Luglio 2014 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1 . Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat in Rn. Domanda 2 Sia X un qualunque insieme e sia d : X×X→ [0, +∞). Quali propriet` a deve soddisfare d per essere una distanza (o metrica). Cosa significa che una successione {xn}⊂ X ` e di Cauchy? Domanda 3 Sia y′ =A(t)y un sistema di N equazioni differenziali lineari. (a) Definire una matrice wronskiana per il sistema. (b) Enunciare il teorema di Liouville. Analisi Matematica II - 02 Luglio 2014 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1 . Sia T⊂ R2 il triangolo di vertici (−1, 0), (0, 2) e (2, 0). Calcolare ∫ T yexdxdy direttamente e usando la formula di Gauss-Green. Esercizio 2 . 1. Determinare al variare del parametro α∈ R la stabilit` a nell’origine del sistema: y′ =   1 +α 0 1 α− 2 3 α− 1 1 −α 0 0 α  y. 2. Trovare l’integrale generale del sistema nei casi a = 0 e a = 1. Esercizio 3 . Sia Σ la superficie parametrizzata da σ(u,v ) = (2 +u,uv,v 3−u), u,v ∈ (−2, 2). 1. La superficie ` e semplice (giustificare la risposta)? 2. In quali punti del dominio la superficie ` e regolare? 3. Determinare il vettore normale alla superficie nel generico punto σ(u,v ). 4. Determinare l’equazione del piano tangente alla superficie nel punto P = (2, 0, 1).