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Analisi Matematica [083475], esame del 04/02/2012 Nome e cognome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matricola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Si consideri la funzione f (x) = sin x + ln sin x . Si determini il suo dominio di definizione. Dom(f ) = {x ∈ R : sin( x) > 0}= {x ∈ R : 2 kπ < x < (2k + 1)π, k ∈ Z}. Si determinino eventuali parità, disparità e periodicità della funzione. La funzione è periodica di periodo 2π. Di conseguenza, il seguito dell’esercizio potrebbe essere svolto limitandosi a studiare la funzione solo per 0 < x < π, anche se qui indicheremo comunque i risultati completi. . . Si calcolino i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti. Si calcola (per ogni k ∈ Z): lim x→(2kπ)+ (sin x + ln sin x) = −∞ , lim x→(π+2kπ)− (sin x + ln sin x) = −∞ . Da ciò si evince che le rette x = 2kπ e x = π+2kπ sono asintoti verticali della funzione. Si determinino i punti critici di f e se ne studi la natura. Poiché f ′(x) = cos x sin x + cos x = cos x sin x (1 + sin x) , gli unici punti critici sono per x = (π/2) + 2kπ. Si noti che i punti tipo x = (3π/2) + 2kπ non sono punti critici, in quanto non appartenenti al dominio della funzione. Studiando il segno della derivata prima, vediamo che è positivo per 2kπ < x < (π/2)+2 kπ e negativo per (π/2)+2 kπ < x < π+2kπ ; si deduce che tutti i punti con x = (π/2)+2 kπ sono punti di massimo. Osserviamo anche che f ((π/2)+2 kπ) = 1 è il massimo assoluto della funzione. Si stabiliscano eventuali concavità, convessità e punti di flesso della funzione. Poiché f ′′(x) = − 1 sin2 x − sin x = −(1 + sin3 x) sin2 x , che è sempre negativa, la funzione è concava in tutti gli intervalli tipo (2kπ, π + 2kπ). Si disegni il grafico approssimativo della funzione. 2.…