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ANALISI MA TEMA TICA II – foglio 1 4 febbraio 2015 Cognome: Nome: Matricola: Proff. Boella, Gazzola, Migliavacca Ingegneria CHI - EL T - MA T E1 E2 T E3 E4 T otale I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sar` a perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.c⃝ • T utte le risposte devono essere motivate, con calcoli e spiegazioni. • Gli esercizi vanno svolti solo su questi fogli. Si cominci a usare lo spazio sotto il testo e poi si continui “aprendo” il foglio e proseguendo nello spazio bianco che si trova a destra. Solo in caso di necessit` a, si pu` o proseguire sul retro del foglio (se avanza spazio), oppure chiedere un foglio aggiuntivo al/alla docente in aula. I fogli di brutta non devono essere consegnati. • Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 3 punti. Esercizio 1. Sia f (x, y) = y2 3√ x2 . a) Determinare l’insieme di definizione di f , l’insieme su cui f ` e derivabile e quello su cui ` e differenziabile. b) Stabilire se f ` e superiormente/inferiormente limitata sul suo insieme di definizione. c) Posto E = {(x, y) ∈R2 : − 3√x ≤ y ≤ 3√x , |x| ≤1}, determinare il volume di Ω = {(x, y, z) ∈R3 : 0 ≤ z ≤ f (x, y) , (x, y) ∈ E}. Soluzione a) L’insieme di definizione ` e tuttoR2 e la funzione ` e continua su tale insieme, in quanto prodotto di funzioni elementari (continue). In base alle regole di derivazione, la funzione ` e derivabile rispetto a y per qualunque valore di x e risulta fy(x, y) = 2y 3√ x2 , che ` e una funzione continua su tutto R2. Sempre in base alle regole di derivazione, ` e possibile affermare altres ` ı la derivabilit` a dif rispetto a x in ogni punto in cui x ̸= 0 ; risulta fx(x, y) =…
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