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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Analisi e geometria 2 Prima Prova in Itinere Docente: 5 maggio 2009 Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. 1. (a) Scrivere la definizione di rango di una matrice A di tipo m×n . (b) Sia R3 S−→ R3 l’applicazione lineare definita da S(x,y,z ) = (x + 3y + 4z, 2x +y + 3z,−x + 2y +z) i. Trovare la matrice A che rappresenta S rispetto alla base canonica di R3 . ii. Trovare la dimensione dello spazio immagine Im S . iii. Trovare una base di Ker A (il nucleo di A ). iv. Trovare tutti gli eventuali valori di h per i quali il vettore w = ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ 2 3 1 +h ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ non appartiene all’immagine di S . Motivare la risposta. v. L’applicazione lineare S ` e iniettiva? Motivare la risposta. Soluzione. (a) A = ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ 1 3 4 2 1 3 −1 2 1 ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ (b) dim (Im S) = rk A = 2 . (c) Una base di Ker A ` e il vettore (−1,−1, 1) . (d) Riduciamo a scala la matrice completa [ A,w ] del sistema lineare AX =w : [A,w ] = ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ 1 3 4 2 2 1 3 3 −1 2 1 1 + h ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ −→ ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ 1 3 4 2 0 −5 −5 −1 0 5 5 3 + h ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ −→ ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ 1 3 4 2 0 −5 −5 −1 0 0 0 2 + h ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ Il vettore w non appartiene all’immagine di S se, e solo se, il rango di [ A,w ] ` e diverso dal rango di A , cio` e se e solo seh̸=−2 . (e) S non ` e iniettiva. (Perch´ e KerS̸= 0 ). 1 2. Sia A una matrice quadrata con un autovettore v relativo all’autovalore λ = 2 . Dimostrare che v ` e anche autovettore della matrice M =A3− 3A e determinare il corrispondente autovalore di M . Soluzione. Per ipotesi, v ` e un vettore non nullo per il quale Av =λv . Allora si ha: A2v = A(Av) = A(λv) = λ(Av) = λ2v In modo simile, A3(v) = A(A2v) = A(λ2v) = λ2(Av) = λ3v . (Pi´ u in…