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Corso di Statistica - Prof. F abio Zucca I Prova in itinere - 5 maggio 2017 Nome e cognome: Matricola: c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale no n autorizzato sar` a perseguito. 12957 Esercizio 1 Si consideri la seguente famiglia di funzioni di parametro c ∈ R fc(x) := { c/x 1 ≤ x ≤ e2 0 altrimenti 1. Determinare per quale valore del parametro c la funzione fc rappresenta la densit` a di una variabile aleatoria assolutamente continua X. 2. Calcolare valore atteso e varianza di X. 3. Calcolare la funzione di ripartizione F di X. 4. Calcolare P (√e ≤ X ≤ e) e P ( e ≤ X ≤ e5/2) . 5. Calcolare per ogni α ∈ (0, 1) il valore qα :=min{t : F (t) ≥ α}. 1 Soluzione. 1. Facilmente 1 = ∫ R fc(x)dx = ∫ e2 1 c x dx = ln(|x|) ⏐ ⏐ ⏐ e2 1 = 2c da cui si ha l’unica soluzione c = 1 /2. In questo caso poich` e la funzione ha segno costante (dove ` e differente da zero), si ha che se l’integrale ` e uguale a 1 allo ra la funzione integranda ` e nonnegativa; ad ogni modo si verifica immediatamente che la funzione fc ` e non negativa se e solo se c ≥ 0. 2. E[X] = ∫ R xf1/2(x)dx = ∫ e2 1 dx 2 = x 2 ⏐ ⏐ ⏐ e2 1 = e2 − 1 2 Ricordando che var( x) = E[X 2] − [EX ]2 calcoliamo E[X 2] = ∫ R x2f1/2(x)dx = ∫ e2 1 x 2 dx = x2 2 · 2 ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ e2 1 = e4 − 1 4 da cui var( X) = e4− 1 4 − ( e2− 1 2 ) 2 ≈ 3.2 3. Dalla definizione FX (t) := ∫ t −∞ f1/2(x)dx =    0 t < 1∫ t 1 dx 2x 1 ≤ t < e 2 1 t > e 2 =    0 t < 1 ln(t) 2 1 ≤ t < e 2 1 t > e 2 4. Ricordiamo che per una variabile aleatoria assolutament e continua P(√e ≤ X ≤ e) = P(√e < X ≤ e) = FX (e) − FX (√e) = 1 /4. Nel secondo caso avremo P ( e ≤ X ≤ e5/2) = FX (e5/2) − FX (e) = 1 − 1/2 = 1 /2. 5. Utilizzando la continuit` a della FX e la stretta monotonia su (1 , e2), si ha che FX ` e biettiva da (1 , e2) su (0 , 1) pertanto…