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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale 3+4 3+4 4+4 4+3+3 32 Analisi e Geometria 2 Prima prova in itinere Docente: 6 maggio 2013 Cognome: Nome: Matricola: • Ogni risposta dev’essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. Data la matrice A =   4 0 1 0 4 0 0 0 0   , a) verificare che A ` e diagonalizzabile; b) determinare una matrice che diagonalizza A . Soluzione. a) Gli autovalori della matrice triangolare A sono: λ0 = 0 , autovalore semplice e quindi regolare; λ1 = 4 , autovalore doppio con molteplicit` a geometrica 3− rk[A−λ1I] = 2 , quindi regolare. Tutti gli autovalori di A sono reali e regolari, quindi A ` e diagonalizzabile. b) L’autospazio V0 relativo a λ0 = 0 ` e lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo[A−λ0I]   x y z   =   0 0 0   , cio` e { 4x +z = 0 y = 0 . Una base di V0 ` e((1, 0,−4)t) . L’autospazio V1 relativo a λ1 = 4 ` e lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo[A−λ1I]   x y z   =   0 0 0   , cio` ez = 0 . Una base di V1 ` e((1, 0, 0)t, (0, 1, 0)t) . Una delle matrici che diagonalizzano A ` e   1 0 1 0 1 0 0 0 −4   . 1 2. Sia T : R3→ R3 l’applicazione lineare definita da: T (e1) = e1 , T (e2) = e2 + e3 , T (e3) =−e1 + 2e2 + 2e3 dove ( e1, e2, e3) ` e la base canonica di R3 . a) Stabilire se il vettore e1 + 3e2 + 3e3 appartiene all’immagine Im T . b) Trovare una base del nucleo ker T . L’applicazione lineare T ` e iniettiva? Soluzione. Rispetto alla base data, la matrice che rappresenta l’applicazione lineare T ` e   1 0 −1 0 1 2 0 1 2   , mentre le coordinate di e1 + 3e2 + 3e3 sono (1, 3, 3)…