Study material for Logica e Algebra, shared by the Studwiz community and reviewed by moderators.
Study material for Logica e Algebra, shared by the Studwiz community and reviewed by moderators.
Import quality: text was extracted directly from the original document.
Representative passages recognised in different parts of the material. The full extracted text remains available to search, while this compact preview makes the page easier to read.
Logica e Algebra II prova in itinere 6/7/2011 ESERCIZIO 1 Si consideri la seguente formula di logica del I ordine ∼∀ y ∃ z ( A1 2(x, z) ∧ A 2 2 ( x, f 1 2(y, z)) ⇒ A1 1(x) dove x, y, z sono delle variabili. Si porti la formula in forma normale prenessa e si scriva la forma di Skolem della chiusura universale della formula stessa. Si dica se questa formula è vera, falsa o soddisfacibile (ma non vera) nell’interpretazione avente come dominio l’insieme dei numeri interi Z, in cui A1 1 ( x) significa “ x è primo”, A1 2 (x, y) significa “x > y ”, A2 2 ( x, y) significa “ x divide y”, f1 2(x, y) significa “x ⋅ y”. Si scrivano le chiusure universale ed esistenziale della formul a data e si dica se sono vere, false o soddisfacibili (ma non vere) nell’interpretazione data. ESERCIZIO 2 Si considerino l’insieme A delle matrici quadrate di ordine 2 i cui elementi appartengono a Z 6, strutturato ad anello rispetto alle usuali operazioni di somma e prodot to di matrici, e l’insieme: B = ∈ 6Zc , b , a |cb 0a a) B è a sua volta anello rispetto alle operazioni di somma e prodotto di matrici? B è un ideale di A? b) B ammette divisori dello 0? Esistono elementi invertibili in B? c) Si consideri l’applicazione f:B → Z6 definita da cb af 0 = c e si provi che è un epimorfismo di B su Z 6. d) Si dica se l’insieme C = { } ∈∈ 6666 ] 4 [ ,] 2 [ ,] 0 [,,,|0 cZcbacb a è un ideale di B. Motivare le risposte date . Traccia di soluzione ESERCIZIO 1 Data la formula ( )())) ,(,(),( 1 1 2 1 2 2 2 1 xAzyfxAzxAzy ⇒∧∃¬∀ e considerate le equivalenze ∃¬ ≡¬∀ e ∀¬ ≡¬∃ si ha innanzitutto che la formula iniziale è equi valente alla seguente: ( )())) ,(,(),( 1 1 2 1 2 2 2 1 xAzyfxAzxAzy ⇒∧¬∀∃ . Da questa, utilizzando i noti lemmi che permettono…
First page of the document.
