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Corso di Statistica - Prof. F abio Zucca I Prova in itinere - 7 maggio 2015 Nome e cognome: Matricola: c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale no n autorizzato sar` a perseguito. 12957 Esercizio 1 Si consideri la seguente famiglia di funzioni reali di varia bili reali a due parametri reali c, λ ∈ R fλ,c(x) := { λe− xc se x ≥ 0, 0 altrimenti . 1. Per quali valori di λ, c la funzione fλ,c rappresenta la densit` a di una variabile assolutamente con tinua? Suggerimento: si supponga c fissato e si ricavi λ come funzione di c. 2. Al variare delle coppie ( λ, c) ammissibili calcolate in precedenza e denotato con X la variabile, se ne calcoli il valore atteso e la funzione di ripartizione. Suggerimento: si utilizzi l’integrazione per parti. 3. Quanto vale P(X ≥ t + s|X ≥ t) con t, s ≥ 0? 4. Sia {Xi}100 i=1 una successione i.i.d. di variabili con densit` a f1,1. Assumendo le uguaglianze E(Xi) = var(Xi) = 1, calcolare approssimativamente P (∑100 i=1 Xi ≥ 100 ) . 1 Soluzione. 1. Una primitiva di fλ,c ` e x ↦→ − λe− xc/c se c ̸= 0 (mentre ` e λx se c = 0), inoltre la condizione fλ,c ≥ 0 (quasi ovunque) ` e equivalente a λ ≥ 0. Se c ≤ 0 la funzione e− xc non ha integrale finito e non esiste alcun valore di λ che verifichi ∫ R fλ,c(x)dx = 1. Quindi d’ora in poi supporremmo c > 0. Pertanto 1 = ∫ +∞ −∞ fλ,c(x)dx = ∫ +∞ 0 λe− xcdx = (− λe− xc/c)|+∞ 0 = λ/c da cui c = λ. Quindi i valori ammissibili sono tutte le coppie ( λ, λ) al variare di λ > 0. 2. Calcoliamo, con c = λ, E[X] = ∫ R xfλ,λ(x)dx = ∫ +∞ 0 xλe− xλdx = − e− xλ(1/λ + x)|+∞ 0 = 1/λ. Analogamente si sarebbe potuto procedere tramite cambio di variabile z = λx ottenendo E[X] = ∫ R xfλ,λ(x)dx = ∫ +∞ 0 xλe− xλdx = = λ− 1 ∫ +∞ 0 ze− zdz = − λ− 1e− z(1 + z)|+∞ 0 = 1/λ. Calcoliamo ora, FX (t) := P(X ≤ t) = ∫ t…