08 09 14 1

Page 1

ANALISI MA TEMA TICA II 8 settembre 2014 Cognome: Nome: Matricola: Proff. Boella, Gazzola, Migliavacca Ingegneria CHI - EL T - MA T E1 E2 T E3 E4 T otale I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sar` a perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.c⃝ • T utte le risposte devono essere motivate, con calcoli e spiegazioni. • Gli esercizi vanno svolti solo su questi fogli. Si cominci a usare lo spazio sotto il testo e poi si continui “aprendo” il foglio e proseguendo nello spazio bianco che si trova a destra. Solo in caso di necessit` a, si pu` o proseguire sul retro del foglio (se avanza spazio), oppure chiedere un foglio aggiuntivo al/alla docente in aula. I fogli di brutta non devono essere consegnati. • Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 3 punti. Esercizio 1. Determinare massimi e minimi assoluti della funzione f (x, y) = exy+x2+y2 nel quadrato Q = {(x, y) ∈R2; |x| ≤1, |y| ≤1}.Soluzione Dato che la funzione esponenziale ` e strettamente crescente, i punti di estremo di f coincideranno con quelli dell’esponente g(x, y) := xy + x2 + y2 (anche se, ovviamente, i valori saranno differenti). Si potr` a quindi svolgere l’esercizio sia lavorando con g come sar` a fatto qui, sia lavorando con f stessa. i) Si nota che l’insieme Q ` e compatto e la funzioneg continua, quindi per il teorema di Weierstrass essa deve ammettere massimo e minimo assoluto in Q (e cos ` ı anchef ). ii) I punti in cui i valori estremi sono assunti potrebbero essere: punti interni a Q o/e punti di ∂Q. Essendo g (come f ) derivabile, se si tratta di punti interni, devono essere stazionari, per teorema di Fermat. Cerchiamo i punti stazionari…