08 Dinamica nello spazio

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Meccanica Aerospaziale Esercitazione Attiva sulla Dinamica nello spazio (1) Esercizio 1 Si abbia un anello rigido sottile di centro A, massa M e raggio R. A tale anello ` e saldato un puntoP di massa m. Il punto P ` e posizionato come in figura, in modo che la congiungente tra il punto ed il centro dell’anello definisca un angolo θ rispetto ad un asse ortogonale all’asse BD come riportato in figura. Mediante la presenza di due cerniere sferiche nei puntiB eD, il sistema pu` o ruotare attorno all’asseBD, inoltre ai punti B e D sono collegate due aste di lunghezza h, saldate a loro volta su una piattaforma girevole di centro O, che ruota attorno all’asse verticale OA. Al sistema ` e applicata una coppia pianaC costante. Utilizzando θ e φ come coordinate libere, determinare: 1. la Lagrangiana del sistema; 2. le equazioni di moto del sistema; 3. gli integrali primi e loro significato quando C = 0. h B A O P, m M, R C D θ φ j i k Figura 1: Sistema dell’esercizio 1 1 Esercizio 2 Un disco di centroO, massam, raggio 2R, ` e libero di ruotare intorno all’assek mantenendosi nel piano ij. Un secondo disco, di centro C, massa m e raggio R, rotola senza strisciare lungo un diametro del disco, e si mantiene perpendicolare al piano ij. Una molla di constante elastica k collega O e C. All’istante iniziale t = 0 il punto H si trova a una distanza R da O Utilizzando θ (rotazione del disco grande) e φ (rotazione del disco piccolo), indicate in Figura, come coordinate libere: 1. Determinare la Lagrangiana e le equazioni di moto del sistema, in assenza di sollecitazioni esterne; 2. Assumendo ˙θ = Ω = costante, determinare il moto del disco di centro C; 3. Determinare la coppia M(t) da applicare al disco di centro O, in modo che la velocit` a angolare di tale disco sia mantenuta costante, con…