09 05 16

Page 1

Politecnico di Milano Analisi Matematica II – 9 maggio 2016 Ing. Chimica e Ing. dei Materiali Prova scritta –1a PARTE Cognome: Nome: • Le risposte vanno scritte negli spazi sotto i quesiti e motivate con calcoli o/e spiegazioni. • Nel caso sia necessario spazio per riscrivere o completare lo svolgimento di un quesito, è possibile utilizzare la facciata bianca sul retro di questo foglio, ma non altri fogli. 1. Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale:y′′(t)− 2y′(t) + 6y(t) = 0. Si tratta di un’equazione differenziale lineare del second’ordine a coefficienti costanti, omogenea. La sua equazione caratteristica è:λ2− 2λ + 6 = 0, con soluzioni: λ = 1± √ 12− 1· 6 = 1± √ −5 = 1± √ 5i. Di conseguenza, la soluzione generale dell’equazione differenziale, definita su tuttoR, è: y(x) =c1et cos( √ 5t) +c2et sen ( √ 5t), c 1,c 2∈ R. 2. Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale:y′(t) +y(t) t = 5. Si tratta di un’equazione differenziale lineare del prim’ordine (non omogenea), con soluzioni definite su R+ o R−, in quanto i coefficienti sono funzioni continue su tali intervalli. Per l’equazione omogenea associata y′(t) + y(t) t = 0 , oltre alla soluzione identicamente nulla troviamo col solito procedimento: ∫ 1 y dy =− ∫ 1 t dt, log|y| =− log|t| +c, c ∈ R, y(t) =±ecelog|t|−1 =± ec |t| =± ec t sgnt, c ∈ R. Tenendo conto del fatto che, suR+ o R−, la funzione sgnt è costante e quindi si può inglobare nella costantek, concludiamo che la soluzione generale dell’omogenea si può riscrivere come: y(t) = k t , k ∈ R (per k =0 si tratta della soluzione nulla). A questo punto, usiamo il metodo di variazione della costante, scrivendo la soluzione dell’e- quazione completa comey(t)=κ(t)/t. Sostituendo nell’equazione data e risolvendo l’equazione ottenuta inκ(t),…