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Politecnico di Milano Analisi Matematica II – 10 febbraio 2016 Ing. Chimica e Ing. dei Materiali Prova scritta – 1a P AR TE Cognome: Nome: • Ogni risposta va scritta nello spazio sotto il quesito e deve sempre essere motivata con calcoli o/e spiegazioni. • Nel caso sia necessario spazio per riscrivere o completare lo svolgimento di un quesito, è possibile utilizzare la facciata bianca sul retro di questo foglio, ma non altri fogli. 1. Determinare tutte le eventuali soluzioni del problema di Cauchy: { y′ = et y2 log y y(0) = 1 . 2. Determinare l’integrale generale dell’equazione: y′′+ 16 y = 0 . 3. Scrivere la serie di Taylor della funzione f (x) = ex 3 − 1 . 4. Determinare il flusso del campo vettoriale F(x, y, z ) = 1945 y i + 1492 z j + 2016 x k uscente dalla sfera di raggio π centrata nell’origine. 5. Calcolare la lunghezza della curva descritta in forma parametrica da: x = 2 sin t , y = 2 cos t , t ∈ [0 , 3π / 2] . 6. Calcolare il rotore del campo vettoriale v(x, y ) = ( x2− y2)( i + j). 7. Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze: +∞∑ n=2 √ n + π ( x 2π )n . 8. Determinare un versore normale al grafico della funzione z = x2ey nel punto le cui prime due coordinate sono (x, y ) = (1 , 0) . 9. Determinare la serie di Fourier associata alla funzione 2π-periodica f (x) = 1 + sin( x)− cos( x) . 10. Stabilire se è chiuso o/e aperto l’insieme di definizione della funzione: f (x, y ) = √ 1− x2− 2y2 x2+4 y2 . Politecnico di Milano Analisi Matematica II – 10 febbraio 2016 Ing. Chimica e Ing. dei Materiali Prova scritta – 2a P AR TE – foglio 1 Cognome: Nome: c⃝ I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sarà perseguito a…
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