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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Algebra Lineare e Geometria MTM – Parte B Quinto appello Docente: 10 febbraio 2024 Cognome: Nome: Matricola: La prova dura 90 minuti. Ogni risposta deve essere opportunamente giustificata. La soluzione degli esercizi deve essere riportata su questi fogli, di cui potete utilizzare anche il retro. I fogli protocollo di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici programmabili e telefoni cellulari. Esercizio 1. Data la matrice A =   0 0 1 0 −1 0 1 0 0   , 1. si calcoli A2; 2. si determinino, se possibile, una matrice ortogonale Q e una matrice diagonale D tali che D = Q−1AQ; 3. si descriva geometricamente l’applicazione lineare LA : R3 → R3 associata alla matrice A dalla formula LA(v) = Av. ♡ 1 di 3 ♡ Esercizio 2. Nello spazio euclideo tridimensionale ( R3 con il prodotto scalare standard) si considerino i punti P1 = (1, 1, 1), P2 = (6, 1, −1), P3 = (2, 3, 1) e P4 = (5, k, −2) (dove k ` e un parametro reale). 1. Si verifichi che esiste un unico piano H in R3 che contenga i tre punti P1, P2 e P3 e se ne determini una equazione. 2. Si determinino gli eventuali valori di k per cui la distanza tra il piano H e il punto P4 ` e uguale a 1. 3. Posto k = 3, si determini la distanza tra la retta P1P2 e la retta P3P4. Le due rette sono sghembe? Giustificare la risposta. ♡ 2 di 3 ♡ Esercizio 3. Sia V lo spazio vettoriale delle matrici reali 2 × 2. Data la matrice B =  1 1 −1 −1  , si consideri la funzione L : V → V definita da L (A) = AB − BA. 1. Si verifichi che L ` e lineare. 2. Si determinino basi e dimensione dei quattro sottospazi Ker( L ), Im(L ), Ker(L ) ∩ Im(L ), Ker(L ) + Im(L ). 3. Si calcoli il polinomio caratteristico di L e si determini se esiste una base di V formata da…