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Es.1 Es.2 Es.3 Es.4 Totale Analisi e Geometria 2 Docente: 11 febbraio 2016 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. 1. Sia L : R2→ R2 l’applicazione lineare tale che L ([2 1 ]) = [ 5 10 ] , L ([1 1 ]) = [3 6 ] . a) Scrivere la matrice rappresentativa A di L rispetto alla base canonica di R2 . b) Determinare la dimensione e una base per ker L e per Im L . c) Stabilire se A ` e diagonalizzabile; in caso affermativo, scrivere una base BD di R2 in corrispondenza della quale la matrice rappresentativa di L ` e diagonale. Soluzione: a) Per determinare A occorre conoscere L ([1 0 ]) e L ([0 1 ]) ; servendosi della linearit` a diL , osser- vato che [1 0 ] = [2 1 ] − [1 1 ] , si ha L ([1 0 ]) =L ([2 1 ]) −L ([1 1 ]) = [ 5 10 ] − [3 6 ] = [2 4 ] , inoltre, da [0 1 ] = [1 1 ] − [1 0 ] , si ha L ([0 1 ]) =L ([1 1 ]) −L ([1 0 ]) = [3 6 ] − [2 4 ] = [1 2 ] ; in definitiva: A = [ L ([ 1 0 ]) L ([0 1 ])] = [2 1 4 2 ] . b) Osservato che A ` e composta da due righe/colonne non nulle e proporzionali, il suo rango ` e 1 , pertanto dim (kerL) = dim (ImL) = 1; i vettori v del nucleo devono soddisfare la relazione Av = 0 , quindi le loro componenti x e y devono soddispfare la relazione 2 x +y = 0 , mentre i vettori dell’immagine saranno proporzionali alle colonne di A , quindi BkerL = {[ 1 −2 ]} , BImL = {[ 1 2 ]} . c) Gli autovalori di A sono λ1 = 0,λ 2 = 4 , dunque la matrice ` e diagonalizzabile. Scegliendo come matrice rappresentativa la matrice diagonale D = [λ1 0 0 λ2 ] , la corrispondente base sar` a BD…