11 02 19

Page 1

ANALISI MATEMATICA 1 Area dell’Ingegneria dell’Informazione Appello del 11.02.2019 TEMA 1 Esercizio 1. Sia f(x) =|(x + 3) log(x + 3)|, x ∈D =]− 3, +∞[. (i) Determinare i limiti di f agli estremi di D e gli eventuali asintoti; studiarne la prolungabilit` a per continuit` a inx =−3; (ii) studiarne la derivabilit` a, calcolarne la derivata, studiarne la monotonia, determinarne gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto ed abbozzarne il grafico. Svolgimento. (i) Con il cambio di variabile y =x + 3 otteniamo lim x→−3+ f(x) = lim y→0+ |y logy| = 0. Questo in particolare implica che f si pu` o prolungare per continuit` a inx =−3 ponendo f(−3) = 0. Evidentemente vale lim x→∞ |x + 3| =∞, lim x→∞ | log(x + 3)| =∞ ⇒ lim x→∞ f(x) =∞. D’altronde lim x→∞ f(x) x = lim x→∞ |x + 3| x | log(x + 3)| = 1· lim x→∞ | log(x + 3)| =∞, quindi la funzione non ha un asintoto obliquo per x→∞ . (ii) Osserviamo che nel dominio D la funzione (x + 3) log(x + 3) si annulla solo per x + 3 = 1, ovvero x =−2. Dunque in D\{− 2} la funzione f ` e derivabile in quanto prodotto e composizione di funzioni derivabili, e si calcola f′(x) = sgn((x + 3) log(x + 3))((x + 3) log(x + 3))′ = sgn((x + 3) log(x + 3))(log(x + 3) + 1), ovvero f′(x) =−(log(x + 3) + 1) per− 3<x< −2 f′(x) = log(x + 3) + 1 perx> −2. Si vede facilmente chef′(x)> 0 per ogni x> −2, quindif ` e strettamente monotona crescente perx> −2. Per−3<x< −2 vale f′(x)> 0⇔ log(x + 3)<−1⇔x + 3< 1 e⇔x< −3 + 1 e. Con analoghi calcoli si ha dunque che f′(x)> 0 per − 3<x< −3 + 1 e, f ′(x) = 0 per x =−3 + 1 e, f ′(x)< 0 per − 3 + 1 e <x< −2. Ne segue che f ` e strettamente monotona crescente per −3 < x <−3 + 1 e e strettamente monotona decrescente per−3 + 1 e <x< −2. 1 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1 2 3 4 Figura 1: Il grafico di f (Tema 1). Quindi−3+…