13febbraio18

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Analisi Matematica II - 13 febbraio 2018 Cognome: Nome: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1. Definire un punto interno, esterno, di frontiera di un sottoinsieme di Rn (2 punti). Definire un insieme compatto (2 punti). Domanda 2 Sia f : Rn→ R e sia C ⊊ R n un insieme chiuso. Definire un punto di massimo per f vincolato a C (2 punti). Domanda 3 Enunciare il teorema di scambio di limite di successione e derivata per una succes- sione di funzioni. Analisi Matematica II - 13 febbraio 2018 Cognome: Nome: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1 . Si consideri ∞∑ n=0 enx . Si determini l’insieme di convergenza puntuale, la somma della serie e su quali intervalli la convergenza ` e uniforme. Esercizio 2 . Calcolare ∫ A 2x + y dx dy , dove A ` e la regione compresa tra le circonferenze x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 9 e le rette y = x e y =− √ 3 2 x (nel semipiano y≥ 0). Esercizio 3 . Si disegni il grafico di alcune soluzioni di y′ = y(3− y)ecos(x+y) , discutendone le caratteristiche (intervallo massimale di definizione, punti di massimo/minimo, asintoti...) Esercizio 4 . Si determini l’intervallo massimale di esistenza della soluzione di { y′ = 2t 1+cos y , y(0) = 0 , e se ne tracci il grafico.