13novembre2017

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Analisi Matematica II - 13 novembre 2017 Cognome: Nome: Nota bene: Leggere bene il testo delle domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1 . Sia f : Rn→ R differenziabile in un punto x0 e sia v∈ Rn, v̸= 0. 1. Dimostrare che f ` e continua inx0. (1 punto) 2. Dimostrare che f ` e derivabile inx0 in direzione v. (2 punti) 3. Mostrare che Dvf(x0) =∇f(x0)· v. (1 punto) Domanda 2 . Sia f : A⊂ Rn+m→ Rm una funzione di classe C 1 e sia f(x0, y0) = 0 (con x0 ∈ Rn e y0 ∈ Rm). Si scriva una condizione sufficiente per l’esistenza e l’unicit` a di una funzione y : U(x0)→ U(y0) tale che f(x, y(x)) = 0 per ogni x∈ U(x0). (2 punti) Domanda 3 . Si definisca uno spazio metrico e uno spazio metrico completo. (2 punti) Analisi Matematica II - 13 novembre 2017 Cognome: Nome: Nota bene: Leggere attentamente il testo degli esercizi prima di iniziare lo svolgimento. Scri- vere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Utilizzare esclusivamente questi fogli per presentare il risultato, i fogli di brutta non devono essere consegnati e non saranno considerati. Esercizio 1 . Sia f : R2\ (0, 0)→ R definita da f(x, y) = x2 sin(xy) log(x2 + 3y2 + 1) Si mostri che f ` e prolungabile con continuit` a inR2. Si determini se la funzione risultante ` e differenziabile in (0 , 0). Esercizio 2 . Calcolare lo sviluppo di Taylor in (1 , 1) con resto di Peano al terzo ordine di f(x, y) = log(x2y) . Usare il risultato ottenuto per calcolare l’equazione del piano tangente al grafico della funzione al punto (1, 1, 0). Esercizio 3 . Si consideri la funzione f : R2→ R definita da f(x, y) = x3(2 + y) + exy . Si verifichi che l’equazione f(x, y) = 0 definisce implicitamente un’unica funzione y : R\{0}→ R e si tracci un grafico qualitativo di tale funzione.