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Politecnico di Milano Analisi Matematica II – 14 luglio 2015 Ing. Chimica e Ing. dei Materiali Prova scritta –1a PARTE Cognome: Nome: c⃝ I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sarà perseguito a termini di legge dal titolare del diritto • Ogni risposta va scritta nello spazio sotto il quesito e deve sempre essere motivata con calcoli o/e spiegazioni. • Nel caso sia necessario spazio per riscrivere o completare lo svolgimento di un quesito, è possibile utilizzare la facciata bianca sul retro di questo foglio, ma non altri fogli. 1. Stabilire il carattere di: ∫ +∞ 2 sinx x · sin 1 x dx. L’integranda è continua su tutto l’intervallo[2, +∞), quindi c’è solo da studiarne l’integrabilità in un intorno di+∞. In un intorno di+∞, per il modulo dell’integranda risulta: ⏐⏐⏐⏐ sinx x · sin 1 x ⏐⏐⏐⏐ =| sinx| x · sin 1 x≤ 1 x· sin 1 x ∼ x→+∞ 1 x2 . Poiché 1 x2 è integrabile in un intorno di+∞ (come tutte le funzioni del tipo1 xα con α> 1), per il criterio dell’asintotico segue che anche1 x sin 1 x lo è; allora, per il criterio del confronto, anche⏐⏐ sinx x · sin 1 x ⏐⏐ è integrabile e in base al criterio di convergenza assoluta ne segue che l’integrale assegnato è convergente. 2. Si consideri la funzione f definita da f (x) = 1 /logx per x∈ (0, 1/2), dispari, 1-periodica. Stabilire se la sua serie di Fourier converge in media quadratica. Notiamo innanzitutto che la serie di Fourier dif è ben definita in quanto la funzione è integrabile sul periodo, dato che per definizione sarebbe ∫ 1/2 −1/2 f (x) dx = ∫ 0 −1/2 −1 log|x| dx + ∫ 1/2 0 1 log|x| dx ed entrambi gli integrali sono convergenti, essendo 1 log|x| continua su [−1/2, 0)∪(0, 1/2] e pro-…