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Corso di Statistica - Prof. F abio Zucca Appello 2 - 15 settembre 2016 Nome e cognome: Matricola: c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale no n autorizzato sar` a perseguito. 8994 Esercizio 1 Si consideri la seguente famiglia di funzioni reali di varia bili reali ad un parametro c ∈ R fc(x) := { 1 x+c se x ∈ [0, 1], x ̸= c, 0 altrimenti . 1. Per quali valori di c la funzione fc rappresenta la densit` a di una variabile assolutamente con tinua? 2. Utilizzando uno dei valori di c calcolati in precedenza e denotato con X la variabile, se ne calcoli il valore atteso e la varianza. Suggerimento: si utilizzino al numeratore le seguenti iden tit` ax = (x + c) − c e x2 = (x + c)2 − 2xc − c2. 3. Calcolare P(X > 0.5|X > 0.2) e P(X < 0.5|X > 0.2). 4. Sia {Xi}100 i=1 una famiglia di variabili i.i.d. distribuite secondo la leg ge calcolata al punto (1). Calcolare, ricorrendo eventualmente ad un’approssimazione P ( ∑100 i=1 Xi ≤ 40 ) . 1 Soluzione. 1. Una primitiva di fc ` e ln(|x + c|), inoltre la condizione fc ≥ 0 (quasi ovunque) ` e equivalente a c ≥ 0. Pertanto 1 = ∫ 1 0 fc(x)dx = ln(|1 + 1/c|) = ln(1 + 1 /c) da cui c = 1/(e − 1). 2. Calcoliamo, con c = 1/(e − 1), E[X] = ∫ R xfc(x)dx = ∫ 1 0 x x + c dx = ∫ 1 0 ( 1 − c x + c ) dx = 1 − 1 e − 1 = e − 2 e − 1 ≈ 0.418023 dove si sono utilizzate le identit` a x = ( x + c) − c e ∫ 1 0 1/(x + c)dx = 1 (quest’ultima valida se c = 1/(e − 1)). Calcoliamo ora, utilizzando anche il risultato precedente , E[X 2] = ∫ R x2fc(x)dx = ∫ 1 0 x2 x + c dx = ∫ 1 0 ( x + c − 2cx x + c − c2 x + c ) dx = ( x2 2 + x e − 1 ) ⏐ ⏐ ⏐ 1 0 − 2 e − 1 · e − 2 e − 1 − 1 (e − 1)2 = 1 2 − e − 2 (e − 1)2 ≈ 0.251093 da cui Var(X) = E[X 2] − E[X]2 = 1 2 − e − 2 (e − 1)2 − (e − 2)2 (e − 1)2 = 1 2 − e − 2 e − 1 ≈ 8.19767 ·10− 2. 3. La funzione…