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Analisi Matematica II - 14 febbraio 2019 Cognome: Nome: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1. Siano f,g : R2→ R funzioni differenziabili. Sia (x0,y 0)∈ R2 tale cheg(x0,y 0) = 0 e∇g(x0,y 0)̸= 0. Enunciare (2 punti) e dimostrare (3 punti) la condizione necessaria affinch´ e (x0,y 0) sia un punto di massimo per la funzione f(x,y ) vincolato all’insieme A ={(x,y )∈ R2 : g(x,y ) = 0}. Domanda 2 Enunciare (2 punti) e dimostrare (3 punti) il teorema delle contrazioni. Analisi Matematica II - 14 febbraio 2019 Cognome: Nome: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Scrivere e motivare chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1. Sia A⊂ R2 la regione compresa tra la parabola di equazione y = 1−x2 e l’asse delle x. Calcolare ∫ A x + 2ydxdy direttamente (3 punti) e con la formula di Gauss-Green (3 punti). Soluzione. ∫ A x + 2ydxdy = ∫ 1 −1 (∫ 1−x2 0 x + 2ydy ) dx = 16 15. Esercizio 2. (5 punti) Sia f : R2→ R definita da f(x,y ) = log(cos(xy)−x2). Si calcoli lo sviluppo di Taylor in (0, 0) al quarto ordine. Soluzione. Poich´ e cos(xy)−x2 = 1− (xy)2 2 −x2 +o((x2 +y2)2) e log(1 +t) =t− t2 2 +o(t2), log(cos(xy)−x2) =−(xy)2 2 −x2− 1 2x4 +o((x2 +y2)2). Esercizio 3. (5 punti) Risolvere il problema di Cauchy    y′ = 4x3−ey xey , y(1) = 0 . Soluzione. L’equazione ` e esatta, infatti si pu` o riscrivere come    y′ =−∂V/∂x ∂V/∂y , y(1) = 0 . con V (x,y ) =x4−xey. Considerando il dato iniziale, la soluzione ` e data in forma implicita da V (x,y ) = 0. Esplicitando si ottiene y(x) = 3 logx x> 0. Esercizio 4. (6 punti) Si discuta il comportamento qualitativo della soluzione del problema di Cauchy    y′ = (t2− y2) sin (√y ) y(0) = 1 , discutendone le…