14Febbraio2017

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Analisi Matematica II - 14 febbraio 2017 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1 . Dimostrare che una curva regolare ` e rettificabile. Domanda 2 Definire una forma differenziale chiusa e dire una condizione sufficiente affinch´ e una forma chiusa sia anche esatta. Domanda 3 Spiegare cosa significa che un problema di Cauchy ` e ben posto. Analisi Matematica II - 14 febbraio 2017 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1 . Sia f : R2→ R definita da f(x, y) =    (x3 + y3) sin ( 1 x2 + y2 ) se (x, y)̸= (0, 0) 0 altrimenti. Si studino continuit` a, derivabilit` a e differenziabilit` a dif nell’origine. Esercizio 2 . Sia f : R→ R definita da f(x) = +∞∑ k=0 cos(kx) 2k . Si mostri che f(x) ` e continua, derivabile, e si determini quante volte ` e derivabile. Esercizio 3 . Si discuta il comportamento qualitativo delle soluzioni del problema di Cauchy { y′ = t3√ |y|(y− 1)2 y(1) = a al variare di a∈ R.