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Algebra Lineare e Geometria – Febbraio 2021 Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare 3x + y + 3z = −5 4x + y + 3z = −5 9x + 2y + 6z = −10 kx + y + 3z = a a, k ∈ R. 1. Discutere al variare dei parametri a, k ∈ R l’esistenza di soluzioni del sistema, moti- vando adeguatamente la risposta . 2. Fornire un’interpretazione geometrica della discussione al punto precedente. 3. In corrispondenza dei valori di a e k per cui il sistema risulta essere risolubile, de- terminare le soluzioni scrivendole nella forma v0 + ker(A) (dove v0 `e una soluzione particolare del sistema e A `e la matrice dei coefficienti). 4. Stabilire se esistono valori di b ∈ R per cui il vettore h 1 0 0 b iT appartiene a col(A), illustrando sinteticamente il procedimento utilizzato . Esercizio 2. Nello spazio vettoriale R4 si considerino i seguenti sottospazi vettoriali: U = Span 1 0 2 −1 , V = Span 1 1 0 1 , 0 −1 1 2 , W = x y z t ∈ R4 2x + y − z = 0 1. Verificare che U ⊂ W, motivando sinteticamente la risposta . 2. Completare una base di U ad una base di W. 3. Determinare una base di W ∩ V ed una base di W + V, illustrando sinteticamente il procedimento utilizzato. 1 Esercizio 3. Si consideri la matrice A = h 0 0 0 h − 2 2 − h 0 2 −2 . 1. Determinare per quali valori di h ∈ R la matrice A `e diagonalizzabile su R, illustrando il procedimento utilizzato e motivando la risposta . 2. Stabilire se esiste una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A, motivando sinteticamente la risposta, e in caso affermativo determinarla. 2
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