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Analisi Matematica II - 15 luglio 2019 Cognome: Nome: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1 . Sia A⊂ R2 un insieme aperto e sia f : A−→ R derivabile due volte, con derivate continue. (a) Dare la definizione di punto di massimo libero locale per la funzione f (1 punto). (b) Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat (2 punti). (c) Enunciare una condizione sufficiente affinch´ e un punto stazionario sia di minimo locale (2 punti). Domanda 2 Enunciare (2 punti) e dimostrare (3 punti) il lemma di Gronwall (in forma differen- ziale oppure integrale). Analisi Matematica II - 15 luglio 2019 Cognome: Nome: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1 . Dato il campo vettoriale F (x, y, z) = ( y2z2, xyz, log(z2) ) , determinare se ` e irrotazionale, conservativo. Calcolare la circuitazione lungo la circonferenza {(x, y, z) : x2 + y2 = 1 , z = 1/2} Soluzione. Poich´ e rotF = ( −xy, 2zy 2, yz− 2yz 2) , il campo non ` e irrotazionale, quindi neppure conservativo. Tuttavia, nel pianoz = 1/2 (che ` e un insieme semplicemente connesso) la terza componente del rotore ` e nulla, ossia ∂F2 ∂x − ∂F1 ∂y = 0 , quindi la restrizione del campo vettoriale al piano z = 1/2 ` e un campo conservativo, quindi la circuitazione ` e nulla. Esercizio 2 . Data la funzione f(x, y) = xy + log x2 + exy , studiare la funzione definita implicitamente dall’equazione f(x, y) = 0. In particolare: deter- minare l’insieme di definizione e i limiti agli estremi dell’insieme di definizione. Determinare eventuali punti estremanti senza calcolare la derivata della funzione definita implicitamente. Soluzione. Il dominio di f ` e{(x, y)∈ R2 , x ̸=…