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Analisi Matematica II - 15 Luglio 2014 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1 . Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat in Rn, n≥ 2. Domanda 2 Siaf : R3→ R una funzione differenziabile e sia γ una curva in R3 parametrizzata da r : [a,b ]→ R3. 1. Definire ∫ γfds . 2. Mostrare che l’integrale non dipende dalla parametrizzazione. Domanda 3 Enunciare il lemma di Gronwall. Analisi Matematica II - 15 Luglio 2014 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1 . Ricordando che cos t = 1−t2/2 +t4/24 +o(t5), si calcoli lo sviluppo di Taylor in (0, 0) al quarto ordine di f(x,y ) = cos(ex−y2− 1) e si calcoli l’equazione del piano tangente in (0 , 0, 1). Esercizio 2 . Si consideri il problema di Cauchy { y′(t) = tanhy− 1 t2 y(1) =a. 1. Per quali valori di a il problema ha una e una sola soluzione? 2. Per quali valori di a l’intervallo massimale si esistenza ` e (0, +∞)? 3. Esistono valori di a per i quali la soluzione del problema ha asintoti orizzontali? Verticali? Obliqui? 4. Tracciare un grafico qualitativo della soluzione per qualche valore di a. Esercizio 3 . Sia Σ la superficie parametrizzata da σ(u,v ) = (v− 3,uv 2,u 3− 3v), u,v ∈ (−1, 2). 1. La superficie ` e semplice (giustificare la risposta)? 2. In quali punti del dominio la superficie ` e regolare? 3. Determinare il vettore normale alla superficie nel generico punto σ(u,v ). 4. Determinare l’equazione del piano tangente alla superficie nel punto P = (−3, 0, 0).