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Fondamenti di Automatica (per Ing. Biomedica) A.A. 2020/2021 A. Colombo, S. Formentin, L. Piroddi 16/06/2021  Controllare il numero di pagine del fascicolo che deve essere di 5.  Durante l’esame non è possibile usare appunti, libri, etc.  La precisione e la chiarezza delle risposte saranno oggetto di valutazione. 1. Si consideri il seguente sistema dinamico con ingresso u(t) e uscita y(t): ቐ 𝑥ሶଵሺ𝑡ሻൌെ 𝑥ଵ ଶሺ𝑡ሻ൅𝑥ଵሺ𝑡ሻ൅ 𝑢ሺ𝑡ሻ 𝑥ሶଶሺ𝑡ሻൌെ 𝑥ଵሺ𝑡ሻ𝑥ଶሺ𝑡ሻെ2𝑥ଶሺ𝑡ሻ 𝑦ሺ𝑡ሻൌ𝑥ଶሺ𝑡ሻ 1.1) Si identifichino gli stati di equilibrio del sistema non lineare in corrispondenza dell’ingresso costante 𝑢ത ൌ 1. Risolvendo 𝑥ሶሺ𝑡ሻ ൌ0 otteniamo 𝑥̅ଵൌ ଵ ଶേ√ହ ଶ, 𝑥̅ଶൌ0. 1.2) Si scriva il modello linearizzato attorno a ciascuno degli stati di equilibrio identificati al punto precedente. Si ottiene 𝛿𝑥ሺሶ𝑡ሻ ൌ൬1 െ2 𝑥̅ଵ 0 െ𝑥̅ଶ െ𝑥̅ଵെ2൰𝛿𝑥ሺ𝑡ሻ ൅ ቀ1 0ቁ𝛿 𝑢 ሺ 𝑡 ሻ 𝛿𝑦ሺ𝑡ሻ ൌ 𝛿𝑥ଶሺ𝑡ሻ Quindi 𝛿𝑥ሺሶ𝑡ሻ ൌቌ േ√5 0 0 േ√5 2 െ5 2 ቍ𝛿𝑥ሺ𝑡ሻ ൅ ቀ1 0ቁ𝛿 𝑢 ሺ 𝑡 ሻ 𝛿𝑦ሺ𝑡ሻ ൌ 𝛿𝑥ଶሺ𝑡ሻ Esame di Fondamenti di Automatica (per Ing. Biomedica) 16-06-21 Pag. 2 di 6 1.3) Si discuta la stabilità degli st ati di equilibrio del sistema non lineare e si illustri cosa si può concludere, sulla base di questa analisi, riguardo al comportamento asintotico di una traiettoria dello stato 𝑥ሺ𝑡ሻ per condizioni iniziali 𝑥ሺ0) arbitrarie. La matrice del sistema linearizzat o è diagonale per entrambi gli equilibri. In corrispondenza dell’equilibrio in ቀ ଵ ଶെ√ହ ଶ ,0 ቁ, la matrice del sistema linearizzato ha un autovalore a parte reale positiva, quindi il movimento di equilibrio è instabile. In corrispondenza dell’equilibrio in ቀ ଵ ଶ൅√ହ ଶ ,0 ቁ, la matrice del sistema linearizzato ha entrambi gli autovalori a parte reale negativa, quindi il movimento di equilibrio è asintoticamente stabile. Possiamo affermare che una traiettoria con condizi oni iniziali vicine al primo equilibrio…