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Analisi Matematica [083475], esame del 16/07/2013 Nome e cognome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matricola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Si consideri la funzione f (x) = x5−x4− 2x3. Si determini il suo dominio di definizione D(f ) = R. Si determinino eventuali parità, disparità e periodicità della funzione. La funzione non è né pari né dispari, non è periodica. Si calcolino i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti. Per quanto riguarda i limiti abbiamo: lim x→±∞ (x5−x4− 2x3) =±∞. Poiché perx→±∞ f (x)∼x5, non ci sono asintoti obliqui. Si studi la derivata prima dif. Determinando punti di massimo e minimo. f′(x) = 5x4− 4x3− 6x2 = x2(5x2− 4x− 6), dunquef′(x) = 0 se x = 0, 2± √ 34, f è crescente per x< 2− √ 34 e perx> 2 + √ 34, inx = 2− √ 34 vi è un massimo (relativo), inx = 2 + √ 34 un minimo (relativo), inx = 0 un flesso a tangente orizzontale. Si studi la derivata seconda dif. Determinando i punti di flesso, e gli intervalli di concavità/convessità. f′′(x) = 20x3− 12x2− 12x = 4x(5x2− 3x− 3), dunquef′′(x) = 0 se x = 0, 1 2 (3± √ 69), in questi tre punti la funzione ha un flesso;f rivolge la concavità verso il basso sex∈ (−∞, 3− √ 69 2 )∪ (0, 3+ √ 69 2 ), mentre rivolge la concavità verso l’alto sex∈ ( 3− √ 69 2 , 0)∪ ( 3+ √ 69 2 , +∞). Si disegni il grafico approssimativo della funzione. 2. Si calcoli il limite lim x→0 e−2x2 − cos 2x x2 sin(3x2) lim x→0 e−2x2 − cos 2x x2 sin(3x2) = lim x→0 [ 1− 2x2 + 2x4 +o(x4) ] − [ 1− 2x2 + 2 3x4 +o(x4) ] 3x4 = 4 9. 3. Si calcolino gli integrali ∫ 1 0 x + 1 x2 + 1 dx ∫ x lnx dx Rispettivamente: ∫ 1 0 x + 1 x2 + 1 dx = ∫ 1 0 x x2 + 1 dx + ∫ 1 0 1 x2 + 1 dx = 1 2 ln(x2 + 1) ⏐⏐⏐ 1 0 + arctan(x) ⏐⏐⏐ 1 0 = 1 2 ln 2 +π 4 ; ∫ x lnx dx= x2 2 lnx− ∫ x2 2 1 x dx = x2…