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FONDAMENTI DI AUTOMA TICA - Ingegneria dell’Automazione Prof.ssa Mara T anelli Appello del 9 luglio 2018 1. Si consideri il sistema con ingressou ed uscitay descritto dalle seguenti equazioni, e conα parametro reale non nullo ˙x1(t) =−αx1(t) +x22(t) ˙x2(t) =−x2(t) +u(t) y(t) =x1(t)x2(t). 1.1. Classificare il sistema (1 punto) . 1.2 Determinare stato e uscita di equilibrio associati all’ingresso costante u(t) =u = 2t≥ 0, e scrivere le equazioni del sistema linearizzato attorno a tale condizione di equilibrio. (2 punti) 1.3 Studiare la stabilit` a del sistema linearizzato e, se possibile, del movimento di equilibrio del sistema non lineare di partenza al variare di α̸= 0 (3 punti) 1.4 Postoα = 1, calcolare il movimento libero dello stato e dell’uscita del sistema linearizzato associato a x(0) = [1 1]T (2 punti) . 2. Si consideri lo schema a blocchi mostrato in figura 2.1 Determinare, motivando la risposta, le funzioni di trasferimento H(s) = Y (s) U (s) e W (s) = Y (s) V (s) (1 punto). 2.2 Posto ora A(s) = 1 s2 +s + 1, B(s) = µ s(s + 1), C(s) = 1 s + 4, D(s) = 2 (s + 6), E(s) = 10 (s + 5) e sapendo che nessun sottosistema ha autovalori nascosti, si determinino, se esistono, i valori di µ che rendono il sistema complessivo con ingressi u(t) e v(t) ed uscita y(t) asintoticamente stabile (2 punti). 3. Si consideri il sistema di controllo in figura con G(s) = 1 (1+0.1s)2 e R(s) = 10 (1+s). 3.1 Si traccino sulla carta semilogaritmica in fondo al fascicolo i diagrammi di Bode asintotici di modulo e fase di L(jω) e si studi la stabilit` a del sistema in anello chiuso (3 punti) . 3.2 Si tracci ora il diagramma polare di L(jω), indicando nel grafico in modo qualitativo il margine di guadagno e il margine di fase del sistema di controllo considerato, considerando valide le indicazioni…