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Es.1 Es.2 Es.3 Es.4 Totale Analisi e Geometria 2 Docente: 17 Luglio 2014 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. 1. Sia L : R4→ R3 l’applicazione lineare tale che, dette {e1, e2, e3, e4} la base canonica di R4 e {i, j, k} la base canonica di R3 , si ha L(e1) = i + 3j + 2k, L(e2) = 2i + 7j + 6k, L(e3) =−i + j + 6k, L(e4) = 3i + 8j + 4k. (a) Scrivere la matrice rappresentativa di L rispetto alle basi suddette. (b) Determinare la dimensione e una base per ker L . (c) Determinare la dimensione e una base per Im L . Soluzione: (a) Si ha AL =   1 2 −1 3 3 7 1 8 2 6 6 4   (b) Riducendo a scala AL si ottiene:   1 2 −1 3 3 7 1 8 2 6 6 4   R2→R2− 3R1 R3→R3− 2R1 −→   1 2 −1 3 0 1 4 −1 0 2 8 −2   R3→R3−2R2 −→   1 2 −1 3 0 1 4 −1 0 0 0 0   dunque dim kerL = 2 , il nucleo di L ` e formato dai vettorix = [x1,x 2,x 3,x 4]T tali che { x1 = 9x3− 5x4 x2 =x4− 4x3 e pertanto (ponendo alternativamente x3 = 1,x 4 = 0 e x3 = 0,x 4 = 1 ) si ottiene una base per ker L : BkerL =      9 −4 1 0  ,   −5 1 0 1      (c) Poich´ e nella riduzione a scala ipivot di AL sono comparsi nella prima e nella seconda colonna, una base per Im L (la cui dimensione ` e 2) ` e formata dalle corrispondenti colonne1 di AL , dunque BImL =      1 3 2  ,   2 7 6      1In un caso di questo genere, poich´ e rk AL = 2 , una qualsiasi coppia di colonne, purch´ e non proporzionali, della matrice costituisce una base per Im L . 2. (a) Enunciare il teorema della divergenza nello…