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Analisi e Geometria 2 Docente: 17 luglio 2019 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere opportunamente giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e (in caso di necessit` a) sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. 1. Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione 3 con prodotto scalare, e sia B = {v1, v2, v3} una sua base ortonormale. Sia f :V →V l’applicazione lineare definita ponendo f(v1) = 5v1 + 2v2 + v3, f (v2) = 2v1 + 2v2− 2v3, f (v3) = v1− 2v2 + 5v3. a) Calcolare le controimmagini di w = (1 +k)v1 +kv2 + (1 + 2k)v3 al variare di k∈ R. b) Calcolare una base ortonormale E di V , composta da autovettori di f e la matrice che rappresenta f rispetto adE. c) Sia data la funzione g(x,y,z ) = 5x2 + 4xy + 2xz + 2y2− 4yz + 5z2 +ex2+y2+z2 . Stabilire se l’origine ` e localmente punto di minimo, massimo o sella per g. Soluzione: La matrice rappresentativa di f rispetto alla baseB ` e A =   5 2 1 2 2 −2 1 −2 5   ; a) il vettore delle coordinate di w rispetto alla baseB, indicato nuovamente conw, ` ew = [1 +k k 1 + 2k]T , scambiando la prima e la terza riga della matrice [ A|w] e applicando il meg:   1 −2 5 1 + 2k 2 2 −2 k 5 2 1 1 +k   meg−→   1 −2 5 1 + 2k 0 6 −12 −2− 3k 0 0 0 −3k  , si ricava che w̸∈ imf se k̸= 0, se invece k = 0 le controimmagini di w sono tutti i vettori della forma   x y z   =   1/3 −1/3 0   +α   −1 2 1  . b) Poich´ e det(A−λI) =−λ(λ− 6)2, gli autovalori di f sono 0 (semplice) e 6 (doppio), l’autovettore relativo a λ = 0 ` e (cfr. punto precedente) v0 =   −α 2α α  , ponendo λ = 6 e risolvendo ( A− 6I)v = 0 si perviene all’equazione −x + 2y +z = 0, sono…