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Calcolo Numerico CdL Ingegneria Biomedica 18 giugno 2018 Prof. C. Vergara Prof. P. Zunino Firma leggibile dello studente Cognome: Nome: Matricola: ISTRUZIONI • Riportare le risposte nello spazio indicato. • Gli esercizi richiedono luso di Matlab. Riportare sul foglio esclusivamente gli output richiesti. • Tempo a disposizione: 1h 30 m. SPAZIO RISERVATO ALLA COMMISSIONE Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3 Totale Versione n. 1 – Pag. 1 12 punti Esercizio 1. (a) (3 punti) Descrivere il metodo di Jacobi per approssimare la soluzione del sistema lineare Ax = b Versione n. 1 – Pag. 2 (b) (3 punti) Sia n = 6. Scrivere una funzione Matlab che implementa il metodo di Jacobi e risolvere il sistema definito dai seguenti A e b: A(i,j) := 6 se i = j −1 se i = j± 1 0 altrimenti , b(i) = i. Utilizzare come dato iniziale x0 = b, come tolleranza per il criterio d’arresto 10−9 e come numero massimo di iterazioni consentite 1000. Riportare le componenti di x e il numero di iterazioni effettuate. Suggerimento: il sistema lineare ad ogni iterazione del metodo pu` o essere risolto attraverso il co- mando Matlab\. Versione n. 1 – Pag. 3 (c) (3 punti) Definire una condizione necessaria e sufficiente affinch´ e il metodo di di Jacobi sia con- vergente. (d) (3 punti) Utilizzare Matlab per verificare che la condizione definita al punto precedente sia vera o meno. Versione n. 1 – Pag. 4 12 punti Esercizio 2. Si consideri il seguente problema di Cauchy: trovare y(t) : [0, T]−→ R tale che { y′(t) = f(t, y(t)), t ∈ (0,T ] y(0) = 0 (a) (4 punti) Descrivere il metodo di Eulero esplicito, con particolare riferimento all’errore di tronca- mento locale ed all’ordine di convergenza del metodo. Versione n. 1 – Pag. 5
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