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Analisi Matematica II - 18 settembre 2014 Cognome: Nome: Matricola: Domanda 1 . Enunciare il teorema di Stokes. Domanda 2 . Si consideri una funzione f : R2→ R. 1. Definire il differenziale in un punto. 2. Dimostrare che, se f ` e differenziabile in un punto, allora ` e continua nello stesso punto. Domanda 3 . Sia dato un sistema di equazioni differenziali lineari autonomo y′ = f(y) tale che f∈ C 1(RN) and f(0) = 0. 1. Definire la stabilit` a asintotica secondo Liapunov dell’origine. 2. Enunciare una condizione sufficiente per avere tale stabilit` a. Esercizio 1 . 1. Determinare una parametrizzazione regolare del ramo dell’iperbole xy = 1 contenuta nel quadrato 0≤ x≤ 2, 0≤ y≤ 2. 2. Calcolarne la lunghezza (senza risolvere l’integrale). 3. Determinarne il versore tangente e normale. Esercizio 2 . Trovare l’integrale generale del sistema    x′ = x + 2y + 3z y′ = x + y + 2z z′ =−x− y− 2z . Esercizio 3 . Calcolare il flusso uscente dalla regione A ={(x, y, z)∈ R3 , x > 1, (x− 1)2 + y2 + z2 < 1} del campo vettoriale F = (yz, y, y) . Esercizio 4 . Sia data l’equazione differenziale y′ =−2x + y x + 2y . 1. Sono verificate le ipotesi del teorema di esistenza e unicit` a locale? Globale? 2. Determinare il luogo dei punti a tangente orizzontale, il luogo dove le soluzioni sono crescenti o decrescenti ed eventuali soluzioni costanti. 3. Trovare la soluzione che soddisfay(0) = 1 e determinarne l’intervallo massimale di esistenza.