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Analisi Matematica [083475], esame del 20/11/2012 Nome e cognome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matricola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Si consideri la funzione f (x) = x2 ln x 1. Si determini il suo dominio di definizione Dom(f ) = fx > 0g: 2. Si determinino gli zeri della funzione e il suo segno. La funzione si annulla per x = 1, è positiva per x > 1 e negativa per 0 < x < 1. 3. Si calcolino i limiti agli estremi del dominio. lim x→+∞ x2 ln x = +1; lim x→0+ x2 ln x = 0: 4. Si stabilisca se la funzione ammette asintoti verticali, orizzontali o obliqui. La funzione non possiede asintoti orizzontali o verticali e poichè lim x→+∞ f (x) x = +1; non ci sono neanche asintoti obliqui. 5. Si determinino i punti critici di f . Poichè f ′(x) = 2 x ln x + x = x(2 ln x + 1); la derivata si annulla quando ln x = 1 2 , cioè x = 1√e che è l’unico punto critico. 6. Si determinino i massimo e minimi della funzione, specificando se assoluti o relativi. Poichè f ′(x) > 0 per x > 1=pe e f ′(x) < 0 per x < 1=pe, segue che x = 1=pe è un minimo assoluto. 7. Si stabiliscano eventuali concavità, convessità e punti di flesso della funzione. Calcolando la derivata seconda abbiamo f ′′(x) = 2 ln x + 2 + 1 = 2 ln x + 3; che si annulla per x = 1√ e3 . Inoltre la derivata seconda è negativa per x < 1= p e3, dove la funzione è concava, e positiva per x > 1= p e3 dove risulta convessa. Il punto 1= p e3 è un flesso. 8. Si disegni il grafico approssimativo della funzione. 9. Si determini a 2 R tale che la funzione f (x + a) abbia minimo sull’asse delle y. Predendo a = 1 =pe il grafico della funzione si trasla verso sinistra di a = 1 =pe, facendo cadere il minimo in x = 0. 10. Si indichi dove la funzione è infinita e infinitesima. La…