20febbraio2014

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Analisi Matematica II - 20 febbraio 2014 Cognome: Nome: Matricola: Domanda 1 . Sia A⊂ R3 un insieme aperto e F :A→ R3 un campo vettoriale C 1. (a) Definire il potenziale scalare V del campo F . (b) Scrivere una condizione sufficiente per l’esistenza del potenziale scalare. Domanda 2. Sia r :T⊂ R2→ R3 una superficie. 1. Quale condizione deve soddisfare per essere detta regolare? 2. Definire il versore normale in un punto r(u,v ). Domanda 3. Enunciare il teorema della funzione inversa (scrivere chiaramente ipotesi e tesi). Analisi Matematica II - 20 febbraio 2014 Cognome: Nome: Matricola: Esercizio 1 . Sia f(x,y ) =ex+y−λxy2−x− 1. 1. Per quali valori di λ l’equazione f(x,y ) = 0 definisce un’unica funzione y(x) in un intorno di x = 0? 2. Sia λ = 1. Dimostrare che x = 0 ` e un punto di massimo pery(x). Esercizio 2 . Si consideri il problema    y′′(x) + 2αy′(x) +α2y(x) = 2 sin(x) y(0) = 0 y(1) = 0. 1. Risolverlo per α = 0 e per α =−1. 2. Stabilire se esiste un valore di α ∈ R per il quale il problema NON ammette alcuna soluzione? Esercizio 3 . Ricordando che ∑+∞ k=0qk = 1 1−q se|q|< 1, calcolare lo sviluppo di Taylor al terzo ordine in (0, 0) con resto di Peano di f(x,y ) = 1 4 +x +y2 . Esiste un intorno di (0, 0) in cui il grafico della funzione si trova sopra (in senso largo) il piano tangente? (non ` e richiesto di calcolare l’equazione del piano tangente)