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Analisi Matematica II - 21 novembre 2016 Cognome: Nome: Nota bene: Leggere bene il testo delle domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1 . Sia r : [a,b ]→ R3 una curva C 2. Si definisca la torsione τ(t0) della curva nel puntor(t0). Domanda 2 . Sia f : A→ R differenziabile, A aperto in R2. Definire ∇f(x0,y 0) e curva di livello di f passante per (x0,y 0) e dimostrare che sono ortogonali. Domanda 3 . Sia F :A→ R3 differenziabile,A aperto in R3, un campo vettoriale conservativo. Mostrare che l’integrale di seconda specie lungo una curva r : [a,b ]→ A dipende solamente da {r(a),r (b)}. Analisi Matematica II - 21 novembre 2016 Cognome: Nome: Nota bene: Leggere attentamente il testo degli esercizi prima di iniziare lo svolgimento. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1 . Si trovino i punti estremanti di f(x,y ) =x2y2− 2x2y +x2 in C ={(x,y ) : x2 +y2≤ 1}. Esercizio 2 . Calcolare ∫ A xy2 x2 +y2 dxdy doveA ={(x,y )∈ R2 : x2 +y2 < 9,x< 0y >0}. Esercizio 3 . Calcolare lo sviluppo di Taylor in (0 , 0) al quarto ordine con resto di Peano di f(x,y ) = sin(x2 +ey− cosy). Dedurre dallo sviluppo di Taylor il valore di ∂2f ∂x2 (0, 0).