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ANALISI MATEMATICA 1 - Prof. E.Maluta Seconda prova in itinere A.A. 2017-18 23 gennaio 2018 COMPITO A 1. (Punti 6) Studiare la funzione f definita da f(x) = 2x 1 +e−3|x| e disegnarne un grafico qualitativo (non ´ e richiesto lo studio dif′′, ma si disegni il grafico con il minimo numero di flessi compatibile con i risultati ottenuti). 2. (Punti 4) Calcolare ∫ 3 0 3x2 log(x2 + 1)dx. 3. (Punti 2) Scrivere la formula di MacLaurin con resto secondo Peano, arrestata al III ordine, della funzione f definita da f(x) = log(1 + sinx)−x. 4. (Punti 5) Stabilire se esiste finito ∫ ∞ 0 (sinhx) 1 2 e4x− 1 dx. ( sinhx = ex−e−x 2 . ) Determinare tutti i valori α∈ R per cui esiste finito ∫ ∞ 0 (sinhx)α e4x− 1 dx. (Facoltativo - Punti 3 - NON validi per la soglia) - v. retro del foglio. 5. ( Facoltativo - Punti 3 - NON validi per la soglia) Sia{an} una successione positiva tale che +∞∑ 0 an converga e si consideri la successione {bn} definita da bn =α√an +βa2 n. a) Per quali valori di α,β ∈ R si pu´ o garantire che +∞∑ 0 bn converge? b) per quali che +∞∑ 0 bn non converge? Giustificare la risposta. 2
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