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Analisi Matematica II - 23 gennaio 2018 Cognome: Nome: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1. Scrivere l’equazione integrale di Volterra (2 punti) e dimostrarne l’equivalenza con un problema di Cauchy (2 punti). Domanda 2 Sia y′ =f(y) un sistema autonomo di equazioni differenziali. (a) Definire un punto di equilibrio stabile. (1 punto) (b) Definire un punto di equilibrio asintoticamente stabile. (1 punto) Domanda 3 Si consideri una successione di funzioni fn : (a,b )→ R. (a) Definire la convergenza uniforme di fn a una funzione f : (a,b )→ R. (1 punto) (b) Si assuma che tutte le fn siano derivabili in (a,b ). Cosa si pu` o dedurre suf? (1 punto) Analisi Matematica II - 23 gennaio 2018 Cognome: Nome: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1 . Sia fn(x) = n2x2 +nx n2 +x2 . Si determini l’insieme di convergenza puntuale della successione, la funzione limite f(x) = lim n→∞ fn(x) e su quali intervalli la convergenza ` e uniforme. Soluzione. Per ogni x∈ R: lim n→∞ fn(x) =x2, |fn(x)−x2| =|n2x2 +nx−n2x2−x4| n2 +x2 ≤|nx| +x4 n2 +x2 ≤|x| n + x4 n2 quindi la convergenza ` e uniforme su qualsiasi intervallo limitato. Esercizio 2 . Si studino e si disegnino alcune traiettorie dell’equazione x′′ =x−x3 +αx′ nel caso α = 0. Si discuta la stabilit` a dei punti di equilibrio per α =−1, 0, 1. Esercizio 3. Calcolando l’integrale generale e/o mediante studio qualitativo, si disegni il grafico di alcune soluzioni di y′ = 1− (y−t)2, discutendone le caratteristiche (intervallo massimale di definizione, punti di massimo/minimo, asintoti...) Soluzione. Ponendoz =y−t e quindi z′ =y′− 1 l’equazione diventa z′ =−z2 il cui…