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ANALISI MATEMATICA I APPELLO 24/02/2014 Prof.ssa Liliana Curcio 5/9/5/8+1/5 AUTORIZZO PUBBLICAZIONE ESITO ON LINE………………………………………… COGNOME………………………NOME………………………MATRICOLA……………… 1) Determinare il carattere della serie ∑ +∞ ++ + 1 25 32 ln nn nn precisando il procedimento seguito Trovare una serie maggiorante la serie data: Determinare quanti termini occorre sommare per avere un valore della somma della serie con un errore che non superi 310− 2) Determinare per quali valori di α reali il seguente integrale converge. Motivare la risposta dicendo quali sono i criteri utilizzati: dt tt et ∫ +∞ − +0 3 3 2α Detta poi 3 3 2 )( tt etf t + = −α , per 1=α considerare la funzione integrale dt tt exF x t ∫ + = − 1 3 3 2 )( α e calcolare: a) Il dominio di F(x) b) I limiti di F(x) per 0→x e per +∞→xe motivare la risposta: c) Scrivere il polinomio di Taylor di secondo grado di F(x) e disegnare il grafico di F(x) nell’intorno del punto x = 1. 3) Calcolare tutte le soluzioni della seguente equazione: ()[ ]023 2 3 =−⋅⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− zizez iπ ***************** 4) Considerare la funzione ( )13ln3 += xxy e rispondere ai seguenti quesiti: a) Indicare il dominio: b) Calcolare i limiti alla frontiera del dominio e indicare le equazioni di eventuali asintoti: c) Calcolare e studiare la derivata prima, indicare gli eventuali punti di massimo e/o di minimo, indicando se sono locali o globali: d) Calcolare la derivata seconda e stabilire gli eventuali punti di flesso: e) Disegnare un grafico compatibile con i risultati trovati **************** 5) Calcolare il seguente integrale definito: ( )dx xxx xe ∫ − + 2 2 ln2ln 1ln2