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Analisi Matematica II - 24 Giugno 2013 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1 . Si consideri il sistema dinamico definito in R3\{ 0} mr′′(t) =f(|r(t)|) r(t) |r(t)|, dovef : (0, +∞) ` e una funzioneC 1. Definire il momento angolare l =l(r(t),r ′(t)) e dimostrare che ` e una costante del moto. Domanda 2 Sia y′ = f(y) un sistema autonomo di equazioni differenziali tale che f(0) = 0. Definire una funzione di Liapunov. Domanda 3 Si consideri una successione di funzioni fn : (a,b )→ R. (a) Definire la convergenza uniforme di ∑+∞ n=0fn. (b) Definire la convergenza totale di ∑+∞ n=0fn. Analisi Matematica II - 26 Giugno 2012 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1 . Si consideri il sistema autonomo { x′ = cos(x) cos(y) y′ = sin(x) sin(y). Si calcolino i punti stazionari in [0 , 2π]× [0, 2π] e se ne discuta la stabilit` a. Si traccino alcune orbite del sistema. Esercizio 2 . Sia f : R→ R definita da f(x) = 1 (1+x)2 . 1. Scriverne la serie di Taylor centrata nell’origine. 2. Calcolare il raggio di convergenza R. 3. Determinare la convergenza della serie in |x| =R. Esercizio 3 . Si risolva il problema di Cauchy { y′ =− 2 3 y x + x2 y2 y(1) = 1.