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Politecnico di Mialno - Ingegneria dell'edilizia ANALISI MA TEMA TICA - docente E. Marchini 25 novembre 2013 - prima prova in itinere Teoria. Dare le definizioni di funzione continua in un punto e di funzione derivabile in un punto. Discutere poi il legame tra continuit` a e derivabilit` a. Soluzione. Confrontare il libro di testo. 1. Calcolare i seguenti limiti (senza usare il Teorema di De l’Hˆ opital): (1.1) lim x→0 log(1 + sin x) e2x 1 (1.2) lim n→∞ log n + cos n n2 + n + 2 Soluzione. (1.1) Poich` e sinx  x e log(1 + x)  x per x ! 0, abbiamo che log(1 + sin x)  x per x ! 0, mentre e2x 1  2x per x ! 0. Ne segue che il primo limite vale 1 =2. (1.2) Per quanto riguarda il secondo limite, osserviamo che log n + cos n  log n e n2 + n + 2  n2 per n ! 1, da cui lim n→∞ log n + cos n n2 + n + 2 = lim n→∞ log n n2 = 0: 2. Stabilire (senza calcolarli) se la seguente funzione ammette degli zeri: f (x) = x + 2 x log x In caso di risposta affermativa, ` e possibile determinare quanti sono? Soluzione. Osseviamo che la funzione ` e definita per x > 0. Essendo f (1) = 3 e f (e2) = e2 + 2 2e2 < 0 il Teorema degli zeri assicura l’esistenza di uno zero per la funzione nell’intervallo (1 ; e2). Derivando la funzione otteniamo f ′(x) = log x; quindi la f cresce strettamente in (0 ; 1), in x = 1 (che ` e un punto di massimo della funzione) vale f (1) = 3 e f decresce strettamente in (1 ; +1). Essendo lim x→0+ f (x) = 2 ; e lim x→+∞ f (x) = 1 possiamo dedurre che la funzione si annulla una sola volta, si veda il grafico sotto. y x0 1 3 e2 2 − e2 3. Si studi la funzione f (x) = x2e1=x; precisandone in particolare: dominio di definizione, limiti agli estremi del dominio di definizione, even- tuali asintoti, derivata, intervalli di monotonia, eventuali punti di estremo relativo o assoluto,…